Zbieżność calek

[PoweredDragon]

Mam pytanie. Czy w badaniu zbieżności całek typu
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} \sqrt{1+[f'(x)]^2} \mbox{d}x}\) można powołać się (bez dowodu) na fakt, iż całka ta reprezentuje długość krzywej danej równaniem \(\displaystyle{ y=f(x)}\) na odcinku \(\displaystyle{ (a, b)}\) (jest to raczej powszechnie znany nietrudny do udowodnienia wzór) i w przypadku np. przedziału, na którym funkcja jest ciągła i przyjmuje skończone wartości widzimy, że krzywa ma ograniczoną długość, zaś w przypadku np. rozbieganiu do \(\displaystyle{ \pm \infty}\) (tak jak \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) w \(\displaystyle{ 0}\)), albo przy granicy w nieskończoności, całka ta jest rozbieżna?

[a4karo]

Ale ta całka opisuje długość krzywej określonej wzorem \(\displaystyle{ F(x)=\int_0^x f(t)dt}\) (albo nie dopisałeś prima

[PoweredDragon]

Oczywiście nie dopisałem prima. Dziękuję

[rubiccube]

Wydaje mi się, że jeśli zachodzi przypadek, że krzywa ma ograniczoną długość i przyjmuje wartości skończone na danym przedziale, to nawet nie jest to całka niewłaściwa

[a4karo]

Funkcja może być ciągłą na domkniętym odcinku, a mimo to długość jej wykresu może nie być skończona (jej pochodna wcale nie musi być ograniczona. Przykładem może być \(\displaystyle{ f(x)=x\sin(1/x)}\)