Masa łuków jednorodnych - współrzędne środkó

[gubermaniak]

Witam. Muszę wyznaczyć współrzędne środków mas łuków jednorodnych.
1. W pierwszym przypadku współrzędne środka masy linii łańcuchowej.
\(\displaystyle{ y= \frac{a}{2} (e ^{ \frac{x}{a} } + e ^{ \frac{-x}{a} })}\)
gdzie
\(\displaystyle{ -a \le x \le a}\)
nie ma tu nic na temat równań dla pozostałych dwóch osi, więc nie wiem jak to ugryźć. Pomyślałem, że w parametryzacji w osi x podstawię poprostu \(\displaystyle{ x}\). Czy to dobre rozumowanie?
Wtedy parametryzacja:
\(\displaystyle{ r(t)=[x,\frac{a}{2} (e ^{ \frac{x}{a} } + e ^{ \frac{-x}{a} })]}\)
Liczę z tego pochodną i moduł,a następnie całkę krzywoliniową niezorientowaną, gdzie funkcją podcałkową jest moduł pomnożony przez \(\displaystyle{ x}\). Dzielę to przez długość tej krzywej. Czy to dobry sposób myślenia?

2. W drugim przypadku jest ot brzeg trójkąta sferycznego \(\displaystyle{ x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =1}\)
Wszystkie współczynniki są większe od zera. Nie wiem jak w ogóle napisać parametryzację dla tego łuku.

[janusz47]

Przenieśmy krzywą łańcuchową w przestrzeń \(\displaystyle{ \RR^3.}\)

Zakładamy, że gęstość krzywej \(\displaystyle{ \rho(x) \equiv 1}\) na całej jej długości.

Wtedy

\(\displaystyle{ z(x) = a\cosh\left(\frac{x}{a}\right), \ \ x\in[-a, a], \ \ a>0, \ \ y = 0.}\)

Niech \(\displaystyle{ x:= at, \ \ t\in [-1, 1],}\)

\(\displaystyle{ z(t) = a\cosh\left(\frac{at}{t}\right) = a\cosh(t).}\)

Masa krzywej \(\displaystyle{ z(t):}\)

\(\displaystyle{ |z(t)| = \int_{-1}^{1}1\cdot ds = a \int_{-1}^{1}\sqrt{1 +\sin^2h(t)}dt = a\int_{-1}^{1}\cos(h(t)dt = 2a\sinh(1)}\) (1)

Współrzędne środka masy krzywej:

\(\displaystyle{ \overline{z}(t) = \frac{\int_{-1}^{1}a^2\cos^2h(t)dt}{|z(t)|}}\) (2)

\(\displaystyle{ a^2\int_{-1}^{1}\cos^2h(t)dt = \frac{1}{2}a^2\int_{-1}^{1}[1 +\cosh(2t)]dt = \frac{1}{2}a^2 \left[ t + \frac{1}{2}\sinh(2t)\right]_{-1}^{1}= \\=\frac{1}{2}a^2 \left[1 +\frac{1}{2}\sinh(2) + 1 + \frac{1}{2}\sinh(-2)\right] = \frac{1}{2}a^2 [2 + \sin(h(2)] = a^2\left [1 + \frac{1}{2}\sinh(2)\right] .}\)

Na podstawie (1) i (2)

\(\displaystyle{ \overline{z}(t)= \frac{ \left a^2[ 1 +\frac{1}{2}\sin(h(2)\right] }{2a\sinh(1)}= \frac{\left a[1 +\frac{1}{2}\sin(h(2)\right] }{2\sinh(1)}\approx 1,197 a.}\)

\(\displaystyle{ (\overline{x}, \overline{y}, \overline{z}) = (0, 0, 1,197a) .}\)

[gubermaniak]

Czy w powyższym rozwiązaniu jest parametryzacja?
Jak liczysz masę krzywej, to nie liczysz masę, tylko długość.

[janusz47]

Parametryzacja kosinusem i sinusem hiperbolicznym.

Masa krzywej to całka krzywoliniowa z jej gęstości liniowej i jej długości.

[gubermaniak]

Jak mogę to lepiej zrozumieć? Jakaś książka?

[janusz47]

Na przykład:

S. Kartasiński, M. Okołowicz analiza matematyczna. Podręcznik dla Studium Nauczycielskiego.
Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych. Warszawa 1967.

Eugieniusz Złotkiewicz Wykład Analizy Matematycznej Wydawnictwo Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej Lublin 1997.

Helena i Julian Musielakowie. Analiza matematyczna. Tom I Część 2. Wydawnictwo Naukowe UAM Poznań 1993.