Całka oznaczona
-
- Użytkownik
- Posty: 83
- Rejestracja: 19 cze 2017, o 08:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ola
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 5 razy
Całka oznaczona
\(\displaystyle{ \int_{-2}^{0} \frac{x}{\sqrt{e^x+4+4x+x^2}}\,dx}\)
Ostatnio zmieniony 30 kwie 2018, o 13:48 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Tytuły tematów należy rozpoczynać od wielkiej litery.
Powód: Poprawa wiadomości. Tytuły tematów należy rozpoczynać od wielkiej litery.
Re: Całka oznaczona
Zauważmy, że \(\displaystyle{ 4+4x+x^2=(x+2)^2}\). Po podstawieniu \(\displaystyle{ u=(x+2)\sqrt{e^{-x}}}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \int_{-2}^{0} \frac{x}{\sqrt{e^x+4+4x+x^2}}\dd x=-2\int_0^2\frac{\dd u}{\sqrt{u^2+1}}=-6\log\varphi}\)
\(\displaystyle{ \int_{-2}^{0} \frac{x}{\sqrt{e^x+4+4x+x^2}}\dd x=-2\int_0^2\frac{\dd u}{\sqrt{u^2+1}}=-6\log\varphi}\)
Ostatnio zmieniony 4 maja 2018, o 21:31 przez dec1, łącznie zmieniany 1 raz.
Re: Całka oznaczona
No \(\displaystyle{ \frac{x}{\sqrt{e^x+(x+2)^2}}=\frac{x \sqrt{e^{-x}}}{\sqrt{\left((x+2)\sqrt{e^{-x}}\right)^2+1}}}\) i \(\displaystyle{ \frac{\dd u}{\dd x}=-\frac{x}{2}\sqrt{e^{-x}}}\), ładnie wychodzi.
Edit: a dobra, literówka.
Edit: a dobra, literówka.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Całka oznaczona
OK, dzięki wielkie, no to ja jestem debilem najwyraźniej.
Tam oczywiście powinien być pierwiastek w mianowniku w funkcji podcałkowej u Ciebie po podstawieniu (1. post), ale to szczegół.
Tam oczywiście powinien być pierwiastek w mianowniku w funkcji podcałkowej u Ciebie po podstawieniu (1. post), ale to szczegół.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Całka oznaczona
Widziałem tę całkę na innym forum gdzie została ona wrzucona miesiąc przed wrzuceniem jej tutaj
Można też w inny sposób
1. Dodać pewne zero
\(\displaystyle{ \int{\frac{x}{ \sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 } } \mbox{d}x }=
\int{\left( 1+\left(\frac{x}{ \sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 } }-1 \right) \right) \mbox{d}x }\\
\int{ \mbox{d}x }+\int{\frac{x-\sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 } }{\sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 } }} \mbox{d}x }\\}\)
2. Pomnożyć przez pewną jedynkę
\(\displaystyle{ \int{ \mbox{d}x }+\int{ \frac{1}{x+2+ \sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 } } \cdot \frac{\left( x- \sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 } \right)\left( x+2+ \sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 }\right) }{ \sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 } } \mbox{d}x}}\)
Gdy wymnożymy licznik w tej drugiej całce widać będzie co podstawić
Można też w inny sposób
1. Dodać pewne zero
\(\displaystyle{ \int{\frac{x}{ \sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 } } \mbox{d}x }=
\int{\left( 1+\left(\frac{x}{ \sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 } }-1 \right) \right) \mbox{d}x }\\
\int{ \mbox{d}x }+\int{\frac{x-\sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 } }{\sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 } }} \mbox{d}x }\\}\)
2. Pomnożyć przez pewną jedynkę
\(\displaystyle{ \int{ \mbox{d}x }+\int{ \frac{1}{x+2+ \sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 } } \cdot \frac{\left( x- \sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 } \right)\left( x+2+ \sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 }\right) }{ \sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 } } \mbox{d}x}}\)
Gdy wymnożymy licznik w tej drugiej całce widać będzie co podstawić