Pytania o zbieżność jednostajną.

[kwaw]

Pytanie 1:
Czy ciąg funkcyjny który nie jest zbieżny punktowo może być kiedykolwiek zbieżny jednostajnie?
Na przykład ciąg: \(\displaystyle{ f _{n}(x) = \cos(n^4 \cdot x)}\) na \(\displaystyle{ R}\).
Nie jest zbieżny punktowo, bo granica \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } {\cos(n^4 \cdot x)}}\) nie istnieje.
Wystarczy wziąć \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{2}}\) i rozpatrzeć \(\displaystyle{ n}\) parzyste i nieparzyste.
(Dobre rozumowanie?)
Ale czy to od razu wyklucza zbieżność jednostajną?
Pytanie 2:
\(\displaystyle{ f _{n}(x) = \frac{x^n}{n}}\)
Czy jest zbieżny punktowo? Tak, na przedziale \(\displaystyle{ \left\langle -1, 1\right\rangle}\) W pozostałych punktach granica jest niewłaściwa. Można powiedzieć, że w pozostałych punktach ciąg nie jest zbieżny punktowo?
Do jakiej funkcji? Do funkcji \(\displaystyle{ f = 0}\).
Czy jest zbieżny jednostajnie? Tak, ponieważ \(\displaystyle{ sup|f _{n}(x) - 0| = \frac{1}{n}}\), a to dla \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) dąży do 0.
Jest ok?

[Pakro]

Kazdy ciag zbiezny jednostajnie jest zbiezny punktowo. Jesli nie jest zbiezny punktowo, to nie moze byc jednostajnie. Druga sprawa jesli ciag ciaglych funkcji jest zbiezny jednostajnie to granica jest funkcja ciagłą. Jesli wychodzi nam, ze granica istanieje a nie jest ciagła chodz wyjsciowe funkcje ciągłe byly, to nie ma mowy o zbiezności jednostajnej.