[Rozgrzewka przed maturą III] Zadania różne
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8596
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3357 razy
[Rozgrzewka przed maturą III] Zadania różne
Rozgrzewka przed maturą I: 406703.htm
Rozgrzewka przed maturą II: 420468.htm
Kolejny łańcuszek maturalny (kontynuacja tematów kolegi mint18).
1.
W urnie znajdują się kule z liczbami naturalnymi od 10 do 20 (włącznie). Losujemy trzy kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo że numery kolejnych wylosowanych kul tworzą ciąg arytmetyczny?
Rozgrzewka przed maturą II: 420468.htm
Kolejny łańcuszek maturalny (kontynuacja tematów kolegi mint18).
1.
W urnie znajdują się kule z liczbami naturalnymi od 10 do 20 (włącznie). Losujemy trzy kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo że numery kolejnych wylosowanych kul tworzą ciąg arytmetyczny?
-
- Użytkownik
- Posty: 71
- Rejestracja: 2 sty 2018, o 20:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 11 razy
Re: [Rozgrzewka przed maturą III] Zadania różne
1.
Wylosowanie pierwszych dwóch nie ma wpływu na znacznie więc je sobie normalnie wyciągamy i zostaje \(\displaystyle{ 19}\).
Teraz mamy cztery warianty:
I Mogę wylosować dwie pierwsze liczby tak, że wartość pierwszej minus różnica \(\displaystyle{ \ge 10}\) i wartość drugiej plus różnica \(\displaystyle{ \le 20}\)
wtedy mam \(\displaystyle{ \frac{2}{19}}\) szansy
II Mogę wylosować dwie pierwsze liczby tak, że wartość pierwszej minus różnica \(\displaystyle{ \ge 10}\) i wartość drugiej plus różnica \(\displaystyle{ > 20}\)
wtedy mam \(\displaystyle{ \frac{1}{19}}\) szansy
III Mogę wylosować dwie pierwsze liczby tak, że wartość pierwszej minus różnica mniejsze od \(\displaystyle{ 10}\) i wartość drugiej plus różnica \(\displaystyle{ \le 20}\)
wtedy mam \(\displaystyle{ \frac{1}{19}}\) szansy
IV Mogę wylosować dwie pierwsze liczby tak, że wartość pierwszej minus różnica \(\displaystyle{ \le 10}\) i wartość drugiej plus różnica \(\displaystyle{ \ge 20}\)
Wtedy wylosowane takiej kuli jest niemożliwe.
Mam nadzieję, że dobrze.
Wylosowanie pierwszych dwóch nie ma wpływu na znacznie więc je sobie normalnie wyciągamy i zostaje \(\displaystyle{ 19}\).
Teraz mamy cztery warianty:
I Mogę wylosować dwie pierwsze liczby tak, że wartość pierwszej minus różnica \(\displaystyle{ \ge 10}\) i wartość drugiej plus różnica \(\displaystyle{ \le 20}\)
wtedy mam \(\displaystyle{ \frac{2}{19}}\) szansy
II Mogę wylosować dwie pierwsze liczby tak, że wartość pierwszej minus różnica \(\displaystyle{ \ge 10}\) i wartość drugiej plus różnica \(\displaystyle{ > 20}\)
wtedy mam \(\displaystyle{ \frac{1}{19}}\) szansy
III Mogę wylosować dwie pierwsze liczby tak, że wartość pierwszej minus różnica mniejsze od \(\displaystyle{ 10}\) i wartość drugiej plus różnica \(\displaystyle{ \le 20}\)
wtedy mam \(\displaystyle{ \frac{1}{19}}\) szansy
IV Mogę wylosować dwie pierwsze liczby tak, że wartość pierwszej minus różnica \(\displaystyle{ \le 10}\) i wartość drugiej plus różnica \(\displaystyle{ \ge 20}\)
Wtedy wylosowane takiej kuli jest niemożliwe.
Mam nadzieję, że dobrze.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8596
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3357 razy
Re: [Rozgrzewka przed maturą III] Zadania różne
1.:
Ile rozwiązań w liczbach naturalnych k,n ma równanie:
\(\displaystyle{ 2!+3!+...+n!=k^3}\)
PS
Odpowiadający przedstawia kolejne zadanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 2 paź 2017, o 17:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 1 raz
[Rozgrzewka przed maturą III] Zadania różne
Jedyne rozwiązanie w liczbach naturalnych dla \(\displaystyle{ n<7}\),to \(\displaystyle{ n=3}\) i \(\displaystyle{ k=2}\).
Dla \(\displaystyle{ n\ge 7}\), nie zgadza się reszta z dzielenia przez \(\displaystyle{ 7}\). Więc \(\displaystyle{ n=3,k=2}\),to jedyne rozwiązanie.
Jeżeli jest dobrze, to wrzucę następne.
Dla \(\displaystyle{ n\ge 7}\), nie zgadza się reszta z dzielenia przez \(\displaystyle{ 7}\). Więc \(\displaystyle{ n=3,k=2}\),to jedyne rozwiązanie.
Jeżeli jest dobrze, to wrzucę następne.
Ostatnio zmieniony 25 kwie 2018, o 11:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8596
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3357 razy
Re: [Rozgrzewka przed maturą III] Zadania różne
Owszem, to jedyne rozwiązanie. Należałoby trochę dopracować uzasadnienie braku innych rozwiązań.
Podobne było zadanie 33. 406703,45.htm#p5427825
Przedstaw, proszę, swoje zadanie.
Podobne było zadanie 33. 406703,45.htm#p5427825
Przedstaw, proszę, swoje zadanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 2 paź 2017, o 17:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 1 raz
Re: [Rozgrzewka przed maturą III] Zadania różne
Zbadaj liczbę rozwiązań równania \(\displaystyle{ \sqrt{2|x|- x^2} =a}\).
Przepraszam za brak Latexu, piszę z telefonu. Poprawię się, obiecuję.
Przepraszam za brak Latexu, piszę z telefonu. Poprawię się, obiecuję.
Ostatnio zmieniony 25 kwie 2018, o 16:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Telefon nie jest żadnym usprawiedliwieniem.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Telefon nie jest żadnym usprawiedliwieniem.
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Re: [Rozgrzewka przed maturą III] Zadania różne
\(\displaystyle{ \sqrt{2 \left| x\right| -x^2} = a}\)
\(\displaystyle{ 2 \left| x\right|-x^2 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ t^2 -2t \le 0}\)
\(\displaystyle{ t(t-2) \le 0}\)
\(\displaystyle{ \left| x\right| \in \left\langle 0; 2\right\rangle}\)
\(\displaystyle{ x \in \left\langle -2; 2\right\rangle \Leftrightarrow 2\left| x\right|-x^2 \in \left\langle 0; 1 \right\rangle}\)
Stąd \(\displaystyle{ a \in \left\langle 0; 1\right\rangle}\)
Z rysunku można odczytać ilość rozwiązań - to jest złożenie dwóch paraboli \(\displaystyle{ f(x) = x^2-2x, x >0}\) i \(\displaystyle{ g(x)=x^2+2x, x < 0}\)
Dla \(\displaystyle{ a < 0}\) rozwiązań brak
Dla \(\displaystyle{ a = 0}\) rozwiązania są trzy: -2, 0, 2
Dla \(\displaystyle{ 0 < a < 1}\) rozwiązania są cztery
Dla \(\displaystyle{ a = 1}\) rozwiązania są dwa: -1, 1 (maksima wspomnianych funkcji)
Dla \(\displaystyle{ a > 1}\) rozwiązań brak
\(\displaystyle{ 2 \left| x\right|-x^2 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ t^2 -2t \le 0}\)
\(\displaystyle{ t(t-2) \le 0}\)
\(\displaystyle{ \left| x\right| \in \left\langle 0; 2\right\rangle}\)
\(\displaystyle{ x \in \left\langle -2; 2\right\rangle \Leftrightarrow 2\left| x\right|-x^2 \in \left\langle 0; 1 \right\rangle}\)
Stąd \(\displaystyle{ a \in \left\langle 0; 1\right\rangle}\)
Z rysunku można odczytać ilość rozwiązań - to jest złożenie dwóch paraboli \(\displaystyle{ f(x) = x^2-2x, x >0}\) i \(\displaystyle{ g(x)=x^2+2x, x < 0}\)
Dla \(\displaystyle{ a < 0}\) rozwiązań brak
Dla \(\displaystyle{ a = 0}\) rozwiązania są trzy: -2, 0, 2
Dla \(\displaystyle{ 0 < a < 1}\) rozwiązania są cztery
Dla \(\displaystyle{ a = 1}\) rozwiązania są dwa: -1, 1 (maksima wspomnianych funkcji)
Dla \(\displaystyle{ a > 1}\) rozwiązań brak
- VirtualUser
- Użytkownik
- Posty: 443
- Rejestracja: 2 wrz 2017, o 11:13
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 113 razy
- Pomógł: 15 razy
Re: [Rozgrzewka przed maturą III] Zadania różne
Gwiazdeczka z kiełbasySloppyTurtle pisze:Zbadaj liczbę rozwiązań równania \(\displaystyle{ \sqrt{2|x|- x^2} =a}\).
Przepraszam za brak Latexu, piszę z telefonu. Poprawię się, obiecuję.
Ostatnio zmieniony 25 kwie 2018, o 16:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 2 paź 2017, o 17:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 1 raz
Re: [Rozgrzewka przed maturą III] Zadania różne
PoweredDragon Jest okej, Twoja kolej.
VirtualUser Ja widziałem je gdzieś indziej
VirtualUser Ja widziałem je gdzieś indziej
- VirtualUser
- Użytkownik
- Posty: 443
- Rejestracja: 2 wrz 2017, o 11:13
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 113 razy
- Pomógł: 15 razy
Re: [Rozgrzewka przed maturą III] Zadania różne
Dorzucę coś od siebie (niestety nie mam odpowiedzi, więc trzeba robić to na czuja )
Dane jest równanie \(\displaystyle{ m^2 x^3 - (6m+m^2)x^2 +(m+6)x=0}\)
Znaleźć takie wartości parametru \(\displaystyle{ m \in C}\), dla których nieujemne rozwiązania równania są liczbami całkowitymi.
Dane jest równanie \(\displaystyle{ m^2 x^3 - (6m+m^2)x^2 +(m+6)x=0}\)
Znaleźć takie wartości parametru \(\displaystyle{ m \in C}\), dla których nieujemne rozwiązania równania są liczbami całkowitymi.
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 4 sty 2017, o 20:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 4 razy
Re: [Rozgrzewka przed maturą III] Zadania różne
Ukryta treść:
Ostatnio zmieniony 25 kwie 2018, o 23:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Re: [Rozgrzewka przed maturą III] Zadania różne
Tia... Problem w tym, że oba rozwiązania nie muszą być nieujemne. Tu jest powiedziane, że nieujemne mają być całkowite, tj. mogą być dwa rozwiązania (1 ujemne i 1 nieujemne) i to 1 nieujemne całkowite spełnia warunki zadania...
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 4 sty 2017, o 20:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 4 razy
[Rozgrzewka przed maturą III] Zadania różne
rozpatrywanie przypadku gdy \(\displaystyle{ x_1 \cdot x_2 \le 0}\) nic nie zmieni, ponieważ:
1. Zamieni to warunek \(\displaystyle{ m \ge -6}\) na \(\displaystyle{ m \le -6}\) z którego korzystaliśmy tylko po to, by zauważyć zależność pomiędzy zerowaniem się delty a całkowitością rozwiązań - czyli przepisujemy wszystko to samo zamieniając warunek z \(\displaystyle{ m \ge -6}\) na powielony warunek z samej delty \(\displaystyle{ m \le -6}\).
2. W związku z tym, że dowód dla \(\displaystyle{ m^2+8m+12=k^2}\) robię dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) a nie \(\displaystyle{ k=0}\) rozpatruję wszystkie możliwe przypadki istnienia pierwiastków (zgodnie z założeniami) i dopiero na końcu dowodu dostaję liczby dla których akurat delta się zeruje (co dowodzi temu, że jeśli pierwiastki całkowite istnieją - to są podwójne.)
1. Zamieni to warunek \(\displaystyle{ m \ge -6}\) na \(\displaystyle{ m \le -6}\) z którego korzystaliśmy tylko po to, by zauważyć zależność pomiędzy zerowaniem się delty a całkowitością rozwiązań - czyli przepisujemy wszystko to samo zamieniając warunek z \(\displaystyle{ m \ge -6}\) na powielony warunek z samej delty \(\displaystyle{ m \le -6}\).
2. W związku z tym, że dowód dla \(\displaystyle{ m^2+8m+12=k^2}\) robię dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) a nie \(\displaystyle{ k=0}\) rozpatruję wszystkie możliwe przypadki istnienia pierwiastków (zgodnie z założeniami) i dopiero na końcu dowodu dostaję liczby dla których akurat delta się zeruje (co dowodzi temu, że jeśli pierwiastki całkowite istnieją - to są podwójne.)
- Chewbacca97
- Użytkownik
- Posty: 464
- Rejestracja: 9 lis 2013, o 22:09
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 120 razy
Re: [Rozgrzewka przed maturą III] Zadania różne
Również coś dorzucę, aby rozruszać ten łańcuszek.
5. Udowodnijcie, że \(\displaystyle{ \frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}}\) jest złożoną liczbą naturalną.
I może faktycznie lepiej wrzucać rozwiązania w ukrytej formie.
5. Udowodnijcie, że \(\displaystyle{ \frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}}\) jest złożoną liczbą naturalną.
I może faktycznie lepiej wrzucać rozwiązania w ukrytej formie.
-
- Użytkownik
- Posty: 83
- Rejestracja: 19 cze 2017, o 08:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ola
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: [Rozgrzewka przed maturą III] Zadania różne
Chewbacca97 pisze:Również coś dorzucę, aby rozruszać ten łańcuszek.
5. Udowodnijcie, że \(\displaystyle{ \frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}}\) jest złożoną liczbą naturalną.
I może faktycznie lepiej wrzucać rozwiązania w ukrytej formie.
Dla których maturzystów to zadanie? Przeciez to jest problem z shortlist '92.