B1(Równanie)
Ukryta treść:
\(\displaystyle{ A = (1, -3)}\), \(\displaystyle{ B = (3,3)}\)
Możliwymi osiami symetrii kwadratu są przekątne lub symetralne boków. Jedyną pewną osią symetrii podanego kwadratu jest więc symetralna odcinka \(\displaystyle{ AB}\), która, jeśli jest on przekątną, będzie zawierała drugą przekątną, a gdy jest bokiem, będzie jego symetralną, więc również osią symetrii kwadratu.
Prosta, na której leżą punkty \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) jest o równaniu:
\(\displaystyle{ (x-1)(3+3) = (3-1)(y+3)}\)
\(\displaystyle{ 6x-6 = 2y+6}\)
\(\displaystyle{ 2y = 6x-12}\)
\(\displaystyle{ y = 3x - 6}\)
Symetralna jest prostopadła do tej prostej, więc jej współczynnik musi spełniać równanie \(\displaystyle{ 3a = -1}\) z czego wprost ywnika, że \(\displaystyle{ a = -\frac{1}{3}}\)
Następnie należy obliczyć jej wyraz wolny \(\displaystyle{ b}\). W tym celu wyznaczamy środek \(\displaystyle{ C}\) odcinka \(\displaystyle{ AB}\): \(\displaystyle{ C = (\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}) = (\frac{4}{2}, \frac{0}{2}) = (2, 0)}\); Dalej już podstawiamy do równania: \(\displaystyle{ 0-\frac{1}{3}*2 +b = -\frac{2}{3} + b \Rightarrow b = \frac{2}{3}}\)
Równaniem zadanej prostej jest więc: \(\displaystyle{ y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}\)
Możliwymi osiami symetrii kwadratu są przekątne lub symetralne boków. Jedyną pewną osią symetrii podanego kwadratu jest więc symetralna odcinka \(\displaystyle{ AB}\), która, jeśli jest on przekątną, będzie zawierała drugą przekątną, a gdy jest bokiem, będzie jego symetralną, więc również osią symetrii kwadratu.
Prosta, na której leżą punkty \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) jest o równaniu:
\(\displaystyle{ (x-1)(3+3) = (3-1)(y+3)}\)
\(\displaystyle{ 6x-6 = 2y+6}\)
\(\displaystyle{ 2y = 6x-12}\)
\(\displaystyle{ y = 3x - 6}\)
Symetralna jest prostopadła do tej prostej, więc jej współczynnik musi spełniać równanie \(\displaystyle{ 3a = -1}\) z czego wprost ywnika, że \(\displaystyle{ a = -\frac{1}{3}}\)
Następnie należy obliczyć jej wyraz wolny \(\displaystyle{ b}\). W tym celu wyznaczamy środek \(\displaystyle{ C}\) odcinka \(\displaystyle{ AB}\): \(\displaystyle{ C = (\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}) = (\frac{4}{2}, \frac{0}{2}) = (2, 0)}\); Dalej już podstawiamy do równania: \(\displaystyle{ 0-\frac{1}{3}*2 +b = -\frac{2}{3} + b \Rightarrow b = \frac{2}{3}}\)
Równaniem zadanej prostej jest więc: \(\displaystyle{ y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}\)
Ukryta treść:
Jeśli 4 osie (ogólnie) i uwzględniamy boki kwadratu, wówczas płaszczyzna podzielona jest na 8 części
Jeśli 4 osie i nie uwzględniamy boków, wówczas 4 części
Jeśli tylko oś, której szukamy w zadaniu i uwzględniamy boki kwadratu, to 4
Jeśli tylko oś, której szukamy i nie uwzględniamy boków kwadratu to 2
Jeśli 4 osie i nie uwzględniamy boków, wówczas 4 części
Jeśli tylko oś, której szukamy w zadaniu i uwzględniamy boki kwadratu, to 4
Jeśli tylko oś, której szukamy i nie uwzględniamy boków kwadratu to 2
Ukryta treść:
\(\displaystyle{ 50! = 50*49*48*...*2}\)
Niech \(\displaystyle{ max_x(k)}\) oznacza maksymalną wartość \(\displaystyle{ k}\) spełniającą treść zadania dla liczby \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ max(k)}\) oznacza maksymalną wartość spełniającą treść zadania w ogóle
a)\(\displaystyle{ 45^k = 5^k * 3^{2k}}\)
Zauważamy następnie ilość czynników liczby \(\displaystyle{ 45}\) w rozkładzie \(\displaystyle{ 50!}\)
W liczbach od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 50}\), wielokrotności \(\displaystyle{ 3}\) występują \(\displaystyle{ 16}\) razy, przy czym wielokrotności \(\displaystyle{ 3^2}\) występują \(\displaystyle{ 5}\) razy, a wielokrotność \(\displaystyle{ 3^3}\) - \(\displaystyle{ 1}\) raz, stąd: \(\displaystyle{ 3^{16}*3^5*3 = 3^{22} \Rightarrow max_3(k) = 11}\)
Identycznego rozkładu dokonujemy na liczbach podzielnych przez \(\displaystyle{ 5}\) - \(\displaystyle{ 10}\) takich liczb w zbiorze \(\displaystyle{ A = {0, 1, ..., 50}}\) przy czym \(\displaystyle{ 2}\) podzielne przez \(\displaystyle{ 5^2}\):
\(\displaystyle{ 5^{10}*5^2 = 5^{12} \Rightarrow max_5(k) = 12}\).
Skoro \(\displaystyle{ 10 < 12}\), to \(\displaystyle{ max(k) = 10}\), czyli:
\(\displaystyle{ 45^k|50! \Rightarrow k \le 11}\)
b)\(\displaystyle{ 63^k = 7^k*3^{2k}}\)
Analogicznie zauważamy ilość czynników liczby \(\displaystyle{ 63}\) w rozkładzie \(\displaystyle{ 50!}\) (pominięciu podlega ilość \(\displaystyle{ 3^2}\), która już została wcześniej opisana:
\(\displaystyle{ max_3(k) = 11}\)
W zbiorze \(\displaystyle{ A = {1, 2, ... , 50}}\), wielokrotności liczby \(\displaystyle{ 7}\) występują dokładnie \(\displaystyle{ 7}\) razy, przy czym jeden przypadek to kwadrat tej liczby: \(\displaystyle{ 7^7*7 =7^8 \Rightarrow max_7(k) = 8}\)
Skoro \(\displaystyle{ 8 < 11}\), to \(\displaystyle{ max(k) = 8}\), czyli:
\(\displaystyle{ 63^k|50!\Rightarrow k \le 8}\)
Niech \(\displaystyle{ max_x(k)}\) oznacza maksymalną wartość \(\displaystyle{ k}\) spełniającą treść zadania dla liczby \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ max(k)}\) oznacza maksymalną wartość spełniającą treść zadania w ogóle
a)\(\displaystyle{ 45^k = 5^k * 3^{2k}}\)
Zauważamy następnie ilość czynników liczby \(\displaystyle{ 45}\) w rozkładzie \(\displaystyle{ 50!}\)
W liczbach od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 50}\), wielokrotności \(\displaystyle{ 3}\) występują \(\displaystyle{ 16}\) razy, przy czym wielokrotności \(\displaystyle{ 3^2}\) występują \(\displaystyle{ 5}\) razy, a wielokrotność \(\displaystyle{ 3^3}\) - \(\displaystyle{ 1}\) raz, stąd: \(\displaystyle{ 3^{16}*3^5*3 = 3^{22} \Rightarrow max_3(k) = 11}\)
Identycznego rozkładu dokonujemy na liczbach podzielnych przez \(\displaystyle{ 5}\) - \(\displaystyle{ 10}\) takich liczb w zbiorze \(\displaystyle{ A = {0, 1, ..., 50}}\) przy czym \(\displaystyle{ 2}\) podzielne przez \(\displaystyle{ 5^2}\):
\(\displaystyle{ 5^{10}*5^2 = 5^{12} \Rightarrow max_5(k) = 12}\).
Skoro \(\displaystyle{ 10 < 12}\), to \(\displaystyle{ max(k) = 10}\), czyli:
\(\displaystyle{ 45^k|50! \Rightarrow k \le 11}\)
b)\(\displaystyle{ 63^k = 7^k*3^{2k}}\)
Analogicznie zauważamy ilość czynników liczby \(\displaystyle{ 63}\) w rozkładzie \(\displaystyle{ 50!}\) (pominięciu podlega ilość \(\displaystyle{ 3^2}\), która już została wcześniej opisana:
\(\displaystyle{ max_3(k) = 11}\)
W zbiorze \(\displaystyle{ A = {1, 2, ... , 50}}\), wielokrotności liczby \(\displaystyle{ 7}\) występują dokładnie \(\displaystyle{ 7}\) razy, przy czym jeden przypadek to kwadrat tej liczby: \(\displaystyle{ 7^7*7 =7^8 \Rightarrow max_7(k) = 8}\)
Skoro \(\displaystyle{ 8 < 11}\), to \(\displaystyle{ max(k) = 8}\), czyli:
\(\displaystyle{ 63^k|50!\Rightarrow k \le 8}\)