Szeregi MacLaurina

[gubermaniak]

Witam. Mam problem z zamiana funkcji w szereg MacLaurina.
1.
\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{x}{2} \right)}\)
Liczę pierwszą pochodną
\(\displaystyle{ \frac{1}{1} \cos \left( \frac{x}{2} \right)}\)
Po podstawieniu \(\displaystyle{ x=0}\) wychodzi 1.
Liczę kolejne pochodne, dzielę je przez silnie i mnożę przez x.
Policzyłem pięć wyrazów tego szeregu MacLaurina:
\(\displaystyle{ 0+x-0- \frac{x}{3!} +0+ \frac{x}{5!}}\)
No i na podstawie powyższego napisałem:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \left( -1 \right) ^{n} \frac{x}{ \left( 2n-1 \right) !}}\)
Czy to jest dobrze zapisane?

2.
Ten sam problem z
\(\displaystyle{ \frac{x^{3}}{16+x^{2}}}\)
Wyciągam
\(\displaystyle{ \frac{x^{3}}{16}}\)
i wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{x^{3}}{16} \sum_{}^{} \left( -1 \right) ^{n} \left( \frac{x}{4} \right) ^{2n}}\)
Czy tak można to zapisać?

3.
Kolejne wyrazy szeregu dla
\(\displaystyle{ x^{2}\cos x}\)
to
\(\displaystyle{ 0+0+0+0+4+0}\)
jak zapisać ten szereg?

[Premislav]

1. Dobrze znany jest wzór
\(\displaystyle{ \sin t= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^nt^{2n+1}}{(2n+1)!}}\),
zatem kładąc w tym wzorze \(\displaystyle{ t:=\frac x 2}\) mamy
\(\displaystyle{ \sin\left( \frac x 2\right)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^n 2^{-2n-1}}{(2n+1)!}x^{2n+1}}\)

A jak już, to chyba nie ogarnąłeś postaci szeregu Maclaurina (poza tym chyba wyznaczałeś go właśnie dla \(\displaystyle{ \sin x}\), a nie \(\displaystyle{ \sin\left( \frac x 2\right)}\)), tam przy n-tej pochodnej (podzielonej przez \(\displaystyle{ n!}\)) stoi \(\displaystyle{ x^n}\), a nie cały czas \(\displaystyle{ x}\).

2. To masz dobrze, choć można jeszcze inaczej to zapisać.

3. Weź (albo wyznacz, jak nie znasz) rozwinięcie \(\displaystyle{ \cos x}\) i po prostu pomnóż każdy wyraz przez \(\displaystyle{ x^2}\).

[a4karo]

Pochodna \(\displaystyle{ \sin \frac{x}{2}}\) to nie \(\displaystyle{ \cos \frac{x}{2}}\).