Logarytmiczny dekrement tłumienia

[konradpros]

[Mam tabele z wartościami \(\displaystyle{ A_{0}[V], A[V], t[s], f[Hz]}\),
gdzie \(\displaystyle{ A_{0}}\) i \(\displaystyle{ A}\) to górna i dolna wartość amplitudy, \(\displaystyle{ t}\) - czas między nimi, a \(\displaystyle{ f}\) częstotliwość kamertonu.


Moim zadaniem jest obliczenie współczynnik tłumienia \(\displaystyle{ \beta}\), czas relaksacji \(\displaystyle{ \tau}\) i logarytmiczny dekrement tłumienia \(\displaystyle{ \lambda}\).

Robię to następująco:

1) Korzystam ze wzoru na logarytmiczny dekrement tłumienia:

\(\displaystyle{ \lambda=\frac{1}{m-n}\ln{\frac{A_{n}}{A_{m}}}}\),

i zakładając, że \(\displaystyle{ A_{n}}\), to moje \(\displaystyle{ A_{0}}\), a \(\displaystyle{ A_{m}}\), to moje \(\displaystyle{ A}\).

Mam pięć pomiarów, więc: \(\displaystyle{ A_{n}=3}\), a \(\displaystyle{ A_{m}=2}\). \(\displaystyle{ n=1, m=5}\)

\(\displaystyle{ \lambda=\frac{1}{5-1}\ln{\frac{3}{2}}=0.10}\)

2) Mając wyznaczony logarytmiczny dekrement tłumienia mogę wyznaczyć współczynnik tłumienia \(\displaystyle{ \beta}\)

\(\displaystyle{ \lambda=\beta T}\)

Po przekształceniu wzoru mam:

\(\displaystyle{ \beta = \frac{\lambda}{T}}\),

gdzie \(\displaystyle{ T}\) - to okres drgań, który oblicza się ze wzoru:

\(\displaystyle{ T=\frac{1}{f}}\)

Podstawiając wartości otrzymuje:

\(\displaystyle{ T=\frac{1}{300}}\),

Podstawiając obliczone wartości pod wyznaczony wzór na współczynnik tłumienia \(\displaystyle{ \beta}\) otrzymuje:

\(\displaystyle{ \beta = \frac{1}{10} \cdot 300 = 30}\),

3) Teraz mogę obliczyć czas relaksacji \(\displaystyle{ \tau}\) ze wzoru:

\(\displaystyle{ \tau = \frac{1}{\beta}}\)

\(\displaystyle{ \tau = \frac{1}{30}}\)

Czy robię to dobrze? Jeśli nie, to gdzie popełniam błąd?

[janusz47]

\(\displaystyle{ \frac{A_{n}}{A_{m}} = \frac{1}{5} \neq \frac{3}{2}.}\)

[konradpros]

Tak, ale m i n w moim odczuciu, to numer pomiaru, a \(\displaystyle{ A _{n}}\) i \(\displaystyle{ A _{m}}\), to wartości tych pomiarów. Mylę się?

[janusz47]

Jeśli piszesz \(\displaystyle{ A_{n} = 1, \ \ A_{m} = 5,}\) to wartość logarytmowana \(\displaystyle{ \frac{A_{n}}{A_{m}}= \frac{1}{5} =0,2.}\)

[konradpros]

Masz racje. Przeoczyłem to. Już poprawione. Ale co z moim założeniem, czy jest poprawne? Czy nie powinienem użyć innych wartości?

[janusz47]

Współczynnik tłumienia \(\displaystyle{ \beta}\) i czas relaksacji \(\displaystyle{ \tau}\) obliczyłeś poprawnie.

Czas relaksacji można też wyrazić za pomocą dekramentu:

\(\displaystyle{ \tau = \frac{1}{\beta}\cdot \frac{T}{T} = \frac{T}{\Lambda}.}\)

[konradpros]

To już coś Teraz jedyne czego nie wiem, to czy moje założenie związane z \(\displaystyle{ A_{0}}\) i \(\displaystyle{ A}\) jest poprawne.
Szukam i nie mogę znaleźć. Znasz może jakąś literature, z któej mógłbym się tego dowiedziec?

[janusz47]

Twoje założenie jest poprawne, bo z definicji logarytmicznego dekrementu tłumienia wystarczy znać amplitudy \(\displaystyle{ A_{n}}\) - n-tego drgania, \(\displaystyle{ A_{m}}\) m-tego drgania ( różniące się wielokrotnością okresu drgań)- uwzględnić logarytm naturalny ich ilorazu i pomnożyć przez czynnik normujący \(\displaystyle{ \frac{1}{m-n}}\) (ten wzór podałeś).

Przyjmujesz \(\displaystyle{ A_{n} = A_{0}, \ \ A_{m} = A.}\)


Proponuję podręcznik akademicki:

Andrzej Januszajtis. Fizyka dla Politechnik część III Fale. PWN Warszawa 1991.