Całka podwójna, współrzędne biegunowe.

[Androo]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{R}\int_{ 0}^{\sqrt{R^2-x^2}}\ln \left( 1+x^2+y^2 \right) dxdy}\)


Zamiana na współrzędne biegunowe

\(\displaystyle{ \int_{o}^{R} \int_{o}^{2 \pi } \ln \left( 1+\rho^2 \right) \rho d\rho d\varphi}\)

\(\displaystyle{ \int_{0 }^{2\pi} \ln \left( 1+\rho^2 \right) \rho d\varphi}\)

\(\displaystyle{ \rho \ln \left( 2+ \rho^2 \right) \int_{0}^{2\pi} d \varphi =}\)

\(\displaystyle{ = 2 \pi \rho \ln \left( 1+ \rho^2 \right)}\)

Drugie całkowanie rozwiązujemy przez części czyli mamy

\(\displaystyle{ 2\pi \int_{0}^{R} \rho \ln \left( 2+ \rho^2 \right) d\rho}\)


\(\displaystyle{ \ln \left( \rho^2 +1 \right) - \frac{1}{2} \int_{}^{} \frac{2\rho}{\rho^2 +1} d\rho =0}\)
\(\displaystyle{ \ln \left( \rho^2 +1 \right) - \frac{1}{2} \ln \left( \rho^2 +1 \right) =\frac{1}{2} \ln \left( \rho^2 +1 \right)}\)

I teraz wstawić granice całkowania?

[a4karo]

Już tą pierwsza całka się nie trzyma kupy (int dx int.... dx\(\displaystyle{ ?
A po zamianie zmiennych cuda prawdziwe.

Przepisz to jeszcze raz, uważnie}\)

[Androo]

Już tą pierwsza całka się nie trzyma kupy (int dx int.... dx\(\displaystyle{ ?
A po zamianie zmiennych cuda prawdziwe.

Przepisz to jeszcze raz, uważnie}\)

Jest jakiś generator tego kodu latex bo przepisywanie jest strasznie dziwne?



W którym miejscu te cuda?

[a4karo]

Nie edytuje sie postów po komentarzach

Było

\(\displaystyle{ \int_{0}^{R}dx\int_{ 0}^{\sqrt{R^2-x^2}}ln(1+x^2+y^2)dx}\)

To cud pierwszy

Teraz jest

int_{0}^{R}int_{ 0}^{sqrt{R^2-x^2}}ln(1+x^2+y^2)dxdy

I to cud drugi, bo wynik będzie funkcją zmiennej \(\displaystyle{ x}\), a pewnie nie o to Ci chodziło.

Kolejność całkowania ma istotne znaczenie, więc \(\displaystyle{ \int\int ... dxdy}\) to nie to samo, co \(\displaystyle{ \int\int ... dydx}\)

Jak wyjaśnisz \(\displaystyle{ \ln({\red 2}+\rho^2)}\) ?
Jesteś pewnie, że po zmiennej \(\displaystyle{ \rho}\) całkuje się od zera do \(\displaystyle{ 2\pi}\)?

Spróbuj naryzować obszar, po którym całkujesz. Może wtedy coś stanie się jasne?

[Androo]

Poprawiłem błędy jednak mam pytanie co do zapisu kolejności całkowanie, bo wiem że mam całkować najpierw po \(\displaystyle{ dy}\) ale to ma być zapisane \(\displaystyle{ dxdy}\) czy \(\displaystyle{ dydx}\) chodzi mi o czysty formalizm. Przynajmniej ja mam tak zapisane w notatkach z wykładów jak ja zrobiłem hmm

[a4karo]

Znak \(\displaystyle{ \int}\) i symbol \(\displaystyle{ dx}\) możesz traktować jako nawiasy - otwierający i zamykający

Zatem \(\displaystyle{ {\red\int_a^b}{\blue\int_c^d} {\blue dx}{\red dy}}\) oznacza, że całkujesz tak: \(\displaystyle{ c<x<d,\ a<y<b}\), a
\(\displaystyle{ {\red\int_a^b}{\blue\int_c^d} {\blue dy}{\red dx}}\) odpowiada \(\displaystyle{ c<y<d,\ a<x<b}\)

[Androo]

Głównie chodzi mi tylko o formalizm, zamotałem się też w tym latexie i trochę błędów wyszło


A co z obliczeniami, trzyma się to kupy?

[a4karo]

Obliczenia o tyle się nie trzymają kupy, że napisałeś parę linijek, które niczym nie są powiązane.

Po zamianie zmiennych kolejność całkowania jest do luftu, a granice pewnie też. Ale ponieważ nie chcesz poprawnie napisać o co ci chodzi, to trudno komentować.