[MIX] Mix matematyczny (34)
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11583
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3167 razy
- Pomógł: 749 razy
[MIX] Mix matematyczny (34)
1. Wykaż lub obal: Jeśli w macierzy kwadratowej nie ma identycznych wierszy, to można z niej usunąć jedną kolumnę tak aby w tej okrojonej macierzy wciąż nie było identycznych wierszy.
2. Liczby rzeczywiste dodatnie \(\displaystyle{ x, y}\) spełniają równanie \(\displaystyle{ (1+x)(1+y)= 2}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ xy+ \frac{1}{xy} \geq 6}\)
3. Niech \(\displaystyle{ f ,g}\) będą funkcjami spełniającymi warunki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2 < f(x) < 4 \\ 2 < g(x) < 4 \\ f(g(x)) =g(f(x))= x \\ f(x)g(x)=x^2 \end{cases}}\)
gdy \(\displaystyle{ 2 < x < 4}\)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ f(3)=g(3)}\)
4. Żuk siedział w lewym górnym rogu szachownicy. W pewnym momencie zaczął iść po planszy i jego droga prowadziła przez wszystkie białe pola, przy czym żukl ani razu nie była na czarnym polu, ani razu też nie przeszedł więcej niż raz przez ten sam wierzchołek na szachownicy. Odtworzyć drogę żuka
5. Niech \(\displaystyle{ A_1, …, A_k}\) będą różnymi podzbiorami zbioru \(\displaystyle{ n}\) -elementowego \(\displaystyle{ X}\) o tej własności, że jeśli \(\displaystyle{ x, y \in X}\) i \(\displaystyle{ x \neq y}\) to istnieje zbiór \(\displaystyle{ A_j}\) taki że \(\displaystyle{ x \in A_j}\) i \(\displaystyle{ y \notin A_j}\).
Udowodnić, że \(\displaystyle{ 2^k \geq n}\)
6. Obliczyć Wyznacznik macierzy liczb Fibonacciego
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}F_0&F_1&F_2& F_3& F_4\\F_5& F_6&F_7&F_8&F_9\\F_{10}&F_{11}&F_{12}&F_{13}&F_{14}\\F_{15}&F_{16}&F_{17}&F_{18}&F_{19}\\F_{20}&F_{21}&F_{22}&F_{23}&F_{24}\end{array}\right]}\)
7. Wyznaczyć wszystkie liczby niewymierne \(\displaystyle{ x}\) dla których liczba \(\displaystyle{ x^2 + \frac{2}{x}}\) jest wymierną
8. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \sqrt{y-1} \sqrt{y-4} - 2 = 4\sqrt{y-9 }+ 3\sqrt{y-16}}\)
9. Udowodnić nierówność \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{\sqrt{2n}} < \frac{1 \cdot ... \cdot (2n-1)}{2 \cdot ... \cdot (2n)} < \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{\sqrt{2n}}}\)
10. Wskazać przykład funkcji, która nie jest sumą wielomianu i funkcji parzystej
11. Jeszcze raz Fibonacci; Wyznaczyć \(\displaystyle{ k}\) jako funkcję \(\displaystyle{ n}\) jeśli \(\displaystyle{ F_{k-1} < n < F_{k}}\)
2. Liczby rzeczywiste dodatnie \(\displaystyle{ x, y}\) spełniają równanie \(\displaystyle{ (1+x)(1+y)= 2}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ xy+ \frac{1}{xy} \geq 6}\)
3. Niech \(\displaystyle{ f ,g}\) będą funkcjami spełniającymi warunki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2 < f(x) < 4 \\ 2 < g(x) < 4 \\ f(g(x)) =g(f(x))= x \\ f(x)g(x)=x^2 \end{cases}}\)
gdy \(\displaystyle{ 2 < x < 4}\)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ f(3)=g(3)}\)
4. Żuk siedział w lewym górnym rogu szachownicy. W pewnym momencie zaczął iść po planszy i jego droga prowadziła przez wszystkie białe pola, przy czym żukl ani razu nie była na czarnym polu, ani razu też nie przeszedł więcej niż raz przez ten sam wierzchołek na szachownicy. Odtworzyć drogę żuka
5. Niech \(\displaystyle{ A_1, …, A_k}\) będą różnymi podzbiorami zbioru \(\displaystyle{ n}\) -elementowego \(\displaystyle{ X}\) o tej własności, że jeśli \(\displaystyle{ x, y \in X}\) i \(\displaystyle{ x \neq y}\) to istnieje zbiór \(\displaystyle{ A_j}\) taki że \(\displaystyle{ x \in A_j}\) i \(\displaystyle{ y \notin A_j}\).
Udowodnić, że \(\displaystyle{ 2^k \geq n}\)
6. Obliczyć Wyznacznik macierzy liczb Fibonacciego
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}F_0&F_1&F_2& F_3& F_4\\F_5& F_6&F_7&F_8&F_9\\F_{10}&F_{11}&F_{12}&F_{13}&F_{14}\\F_{15}&F_{16}&F_{17}&F_{18}&F_{19}\\F_{20}&F_{21}&F_{22}&F_{23}&F_{24}\end{array}\right]}\)
7. Wyznaczyć wszystkie liczby niewymierne \(\displaystyle{ x}\) dla których liczba \(\displaystyle{ x^2 + \frac{2}{x}}\) jest wymierną
8. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \sqrt{y-1} \sqrt{y-4} - 2 = 4\sqrt{y-9 }+ 3\sqrt{y-16}}\)
9. Udowodnić nierówność \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{\sqrt{2n}} < \frac{1 \cdot ... \cdot (2n-1)}{2 \cdot ... \cdot (2n)} < \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{\sqrt{2n}}}\)
10. Wskazać przykład funkcji, która nie jest sumą wielomianu i funkcji parzystej
11. Jeszcze raz Fibonacci; Wyznaczyć \(\displaystyle{ k}\) jako funkcję \(\displaystyle{ n}\) jeśli \(\displaystyle{ F_{k-1} < n < F_{k}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
[MIX] Mix matematyczny (34)
2.
Badając miejsca zerowe funkcji \(\displaystyle{ f(t)=t+\frac{1}{t}-6}\) łatwo sprowadzić pierwszą nierówność do postaci \(\displaystyle{ t=xy\leq 3-2\sqrt{2}}\), bo wiemy, że \(\displaystyle{ x,y<1}\), więc nie musimy się przejmować drugim miejscem zerowym.
Na podstawie założenia równoważnie \(\displaystyle{ xy=1-x-y\leq 3-2\sqrt{2}}\), lub
\(\displaystyle{ (x+1)+(y+1)\geq AM-GM\geq 2\sqrt{(x+1)\cdot (y+1)}=2\sqrt{2}}\)
Badając miejsca zerowe funkcji \(\displaystyle{ f(t)=t+\frac{1}{t}-6}\) łatwo sprowadzić pierwszą nierówność do postaci \(\displaystyle{ t=xy\leq 3-2\sqrt{2}}\), bo wiemy, że \(\displaystyle{ x,y<1}\), więc nie musimy się przejmować drugim miejscem zerowym.
Na podstawie założenia równoważnie \(\displaystyle{ xy=1-x-y\leq 3-2\sqrt{2}}\), lub
\(\displaystyle{ (x+1)+(y+1)\geq AM-GM\geq 2\sqrt{(x+1)\cdot (y+1)}=2\sqrt{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1114
- Rejestracja: 26 paź 2008, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 157 razy
Re: [MIX] Mix matematyczny (34)
5:
Ostatnio zmieniony 16 kwie 2018, o 22:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
[MIX] Mix matematyczny (34)
Hmm, a czy dla sinusa nie wychodzi bardziej elementarnie?
Niech \(\displaystyle{ \sin(x)=g(x)+W(x)}\) dla \(\displaystyle{ g}\) parzystej funkcji, \(\displaystyle{ W}\) wielomianu.
Wiemy, że \(\displaystyle{ g(x)+W(x)=\sin(x)=-\sin(-x)=-g(-x)-W(-x)=-g(x)-W(-x)}\), a co za tym idzie
\(\displaystyle{ g(x)=\frac{-W(x)-W(-x)}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ g(x)}\) jest wielomianem, czyli również \(\displaystyle{ \sin(x)}\) jako suma wielomianów jest wielomianem, co prowadzi do sprzeczności.
Btw., już dawno nie postowałem, czy w międzyczasie funkcja hide stała się standardem na całym forum jeśli chodzi o rozwiązania zadań?
Niech \(\displaystyle{ \sin(x)=g(x)+W(x)}\) dla \(\displaystyle{ g}\) parzystej funkcji, \(\displaystyle{ W}\) wielomianu.
Wiemy, że \(\displaystyle{ g(x)+W(x)=\sin(x)=-\sin(-x)=-g(-x)-W(-x)=-g(x)-W(-x)}\), a co za tym idzie
\(\displaystyle{ g(x)=\frac{-W(x)-W(-x)}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ g(x)}\) jest wielomianem, czyli również \(\displaystyle{ \sin(x)}\) jako suma wielomianów jest wielomianem, co prowadzi do sprzeczności.
Btw., już dawno nie postowałem, czy w międzyczasie funkcja hide stała się standardem na całym forum jeśli chodzi o rozwiązania zadań?
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11583
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3167 razy
- Pomógł: 749 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [MIX] Mix matematyczny (34)
a4karo, chyba nie do tego zadania Pan to pisał, stawiam, że do szóstego.
Piotr Rutkowski, no faktycznie, tak jest znacznie prościej, ładne, ale niestety nie wpadłem na to (jak zwykle). Opcja hide jest teraz standardem w kółku matematycznym, na całym forum nie.
Piotr Rutkowski, no faktycznie, tak jest znacznie prościej, ładne, ale niestety nie wpadłem na to (jak zwykle). Opcja hide jest teraz standardem w kółku matematycznym, na całym forum nie.
9. c.d.:
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11583
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3167 razy
- Pomógł: 749 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [MIX] Mix matematyczny (34)
Czy zadanie siódme to nie jest pewna przesada Tak tylko pytam, ponieważ bardzo mocno powątpiewam w istnienie jakiegokolwiek rozsądnego rozwiązania tego zadania. Ten zbiór liczb niewymiernych, dla których \(\displaystyle{ x^2+\frac 2 x}\) jest liczbą wymierną, to jakiś nieszczególnie urokliwy podzbiór zbioru liczb algebraicznych, z pewnością nieskończony (gdyż jego podzbiorem jest \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \ZZ}^{}\left\{ x \in \RR\setminus \QQ: x^3-nx+2=0\right\}}\), a zbiory pierwiastków rzeczywistych \(\displaystyle{ x^3-nx+2}\) i \(\displaystyle{ x^3-2nx+2}\) są rozłączne dla każdego niezerowego \(\displaystyle{ n}\) całkowitego i każdy taki wielomian ma pierwiastek, jako że ma nieparzysty stopień), więc skoro podzbiór algebraicznych, to mocy \(\displaystyle{ \aleph_0}\). Jak dla mnie jakieś trefne zadanie. Nie chciałbym, żeby potem trafiło np. do nierozwiązanych problemów, bo na pierwszy rzut oka to po prostu klops (bez urazy), a nie jakieś bardzo trudne i wymagające zadanie ze sprytnym/głębokim rozwiązaniem. Może błąd w treści.
-- 30 kwi 2018, o 02:16 --
A żeby nie było spamu:
-- 30 kwi 2018, o 02:16 --
A żeby nie było spamu:
2. nieco inaczej: