Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregu potęgowego

[gubermaniak]

Witam. Muszę wyznaczyć przedziały zbieżności szeregu potęgowego
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(x-1) ^{n} }{ne ^{n} }}\)
Robię to tak:
Liczę zbieżność z kryterium Cauchy'ego i wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{x-1}{e}}\)
Przyrównuję to w poniższy sposób
\(\displaystyle{ \frac{|x-1|}{e} <1}\)
\(\displaystyle{ |x-1|<e}\)
\(\displaystyle{ x<e+1}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 1}\) i \(\displaystyle{ -x+1<e}\) dla \(\displaystyle{ x<1}\)
co zapisuję jako \(\displaystyle{ -e+1<x<e+1}\)
liczę granicę z kryterium Cauchy'ego szeregu gdzie w miejsce x podstawiam \(\displaystyle{ -e+1}\) i wychodzi \(\displaystyle{ -1}\) czyli zbieżny
liczę w ten sam sposób granicę w punkcie \(\displaystyle{ e+1}\) i wychodzi \(\displaystyle{ 1}\), a więc nie da się określić
przedział zbieżności zapisuję\(\displaystyle{ x \in [-e+1;e+1)}\)
Czy to jest dobrze?

[a4karo]

Popraw Latexa (wzory muszą być w tagach [tex]....[/tex]

Prawie dobrze:
Jak stosujesz kryterium Cauchy'ego? bo wynik \(\displaystyle{ \frac{x-1}{e}}\) wygląda dziwnie

\(\displaystyle{ -1}\) w kryterium Cauchy'ego nie ma prawa wyjść. A jak wychodzi \(\displaystyle{ 1}\), to musisz użyć innych narzędzi, żeby rozstrzygnąć zbieżność.
Ponieważ tego nie zrobiłeś, wnioski o zachowaniu szeregu na końcach przedziału są nieuprawnione.

Zabawne jest wnioskowanie: nie da się określić, więc na wszelki wypadek wstawię przedział otwarty

[gubermaniak]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{((1-e)-1) ^{n} }{ne ^{n} } }= \lim_{ x\to \infty } \frac{-e}{e} =-1}\)

[bartek118]

Zjadłeś moduł.

[gubermaniak]

Rzeczywiście. Po uwzględnieniu modułu wychodzi 1.
Czyli nie da się stwierdzić czy zbieżna. Więc jak to rozwiązać?

[Premislav]

Jeżeli \(\displaystyle{ \frac{x-1}{e}=1}\), tj. \(\displaystyle{ x=e+1}\), to po podstawieniu masz rozbieżny szereg
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac 1 n}\), natomiast jeżeli \(\displaystyle{ \frac{x-1}{e}=-1}\), czyli \(\displaystyle{ x=1-e}\), to otrzymujesz po podstawieniu szereg \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{(-1)^n}{n}}\), który jest zbieżny na mocy kryterium Leibniza.-- 14 kwi 2018, o 18:23 --Zatem ostatecznie szereg ten jest zbieżny dla \(\displaystyle{ xin [1-e, 1+e)}\).

[gubermaniak]

Po podstawieniu \(\displaystyle{ x=e+1}\) wyszło mi to samo teraz. Miałem błąd w obliczeniach.
Dzięki za pomoc.