Jak rozwiązać poniższe równanie?
\(\displaystyle{ 2t+3y-1+(4t+6y-4)y'=0}\)
Rozwiązanie równania różniczkowego
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Rozwiązanie równania różniczkowego
Można sprawdzić, że \(\displaystyle{ y(t)=\frac 2 3\left( 1-t\right)}\) nie jest rozwiązaniem, podstawiając.
Dalej:
\(\displaystyle{ y'=- \frac{2t+3y-1}{4t+6y-4}}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ u=2t+3y}\), a wówczas
\(\displaystyle{ y=\frac 1 3\left( u-2t\right) \\ y'=\frac 1 3 u'-\frac 2 3}\)
i mamy
\(\displaystyle{ \frac 1 3 u'-\frac 2 3=- \frac{u-1}{2u-4} \\u'=2- \frac{3u-3}{2u-4} \\ \int_{}^{} \frac{\,\dd u}{2- \frac{3u-3}{2u-4}} = \int_{}^{} 1\,\dd t\\ \int_{}^{} \frac{2u-4}{u-5}\,\dd u=t+C}\),
policz tę całkę po lewej (jest trywialna i czysto obliczeniowa, nie chce mi się z tym babrać)
i dalej z tym walcz, wracając z podstawieniem.
Dalej:
\(\displaystyle{ y'=- \frac{2t+3y-1}{4t+6y-4}}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ u=2t+3y}\), a wówczas
\(\displaystyle{ y=\frac 1 3\left( u-2t\right) \\ y'=\frac 1 3 u'-\frac 2 3}\)
i mamy
\(\displaystyle{ \frac 1 3 u'-\frac 2 3=- \frac{u-1}{2u-4} \\u'=2- \frac{3u-3}{2u-4} \\ \int_{}^{} \frac{\,\dd u}{2- \frac{3u-3}{2u-4}} = \int_{}^{} 1\,\dd t\\ \int_{}^{} \frac{2u-4}{u-5}\,\dd u=t+C}\),
policz tę całkę po lewej (jest trywialna i czysto obliczeniowa, nie chce mi się z tym babrać)
i dalej z tym walcz, wracając z podstawieniem.