Wykaż nierówność

[pow3r]

\(\displaystyle{ \frac{\ln x}{x-1} \le \frac{1}{ \sqrt{x} }}\)

dla \(\displaystyle{ x \in (0, + \infty ), x \neq 1}\)

[rubiccube]

Jakieś próby rozwiązania, pomysły z którego twierdzenia skorzystać?

[pow3r]

pochodna, nastepnie monotonicznosc pochodnej?
tak robilam na zajeciach inny przyklad jedank w tym przykladzie do konca cos mi nie wychodzi

[Premislav]

Podstaw \(\displaystyle{ x=\frac{1}{t^2}}\) dla \(\displaystyle{ t>0}\), na co pozwala \(\displaystyle{ x>0}\), a będziesz mieć prostsze funkcje.

-- 11 kwi 2018, o 13:46 --

Otrzymasz taką postać:
\(\displaystyle{ \frac{-2t^2\ln(t)}{1-t^2} \le t}\)
dla \(\displaystyle{ t \in (0,1) \cup (1,+\infty)}\),
czy po uproszczeniu
\(\displaystyle{ \frac{2t\ln(t)}{t^2-1} \le 1}\)

Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f(t)=\frac{2t\ln(t)}{t^2-1}}\).
Mamy \(\displaystyle{ \lim_{t \to 1}\frac{2t\ln(t)}{t^2-1}=1}\),
teraz licząc pochodną, uzasadnij, że funkcja jest rosnąca w \(\displaystyle{ (0,1)}\) i malejąca w \(\displaystyle{ (1,+\infty)}\).