Konkurs Politechniki Warszawskiej 2018

[pawlo007]

Witam przygotowuje się do finału konkursu politechniki i utknąłem na takim zadaniu z finału z 2015 roku

Udowodnić prawdziwość następującej nierówności dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x, y, z:
\(\displaystyle{ \frac{ x^{3}}{ (x+y)^{2} } + \frac{ y^{3} }{ (y+z)^{2} } + \frac{ z^{3} }{ (z+x)^{2} } \ge \frac{x+y+z}{4}}\)

Próbowałem to dosyć długo robić z nierówności między średnimi, ale niestety nic z tego mi nie wychodziło.

[Premislav]

Lemat:
\(\displaystyle{ frac{x^3}{(x+y)^2} ge frac{2x-y}{4}}\)
dla dowolnych dodatnich \(\displaystyle{ x,y}\).
Dowód lematu:
równoważne
\(\displaystyle{ 4x^3ge (2x-y)(x+y)^2\ left(x-y
ight)^2(2x+y)ge 0}\)
co jest jasne dla dodatnich \(\displaystyle{ x,y}\).
Następnie:
Dodajemy trzy podobne nierówności stronami dla \(\displaystyle{ (x,y), (y,z), (z,x)}\) i do widzenia.
Tu był dobry artykuł o tym, jak wymyślać takie lematy:

Ta nierówność już kilka razy pojawiała się na tym forum.

-- 8 kwi 2018, o 15:30 --

Można również i tak:
z nierówności Höldera mamy
\(\displaystyle{ left( (x+y)+(y+z)+(z+x)
ight)^{frac 2 3} left( frac{ x^{3}}{ (x+y)^{2} } + frac{ y^{3} }{ (y+z)^{2} } + frac{ z^{3} }{ (z+x)^{2} }
ight)^{frac 1 3} ge x+y+z}\)
dla dowolnych dodatnich \(\displaystyle{ x,y,z}\), podnosimy następnie do 3. potęgi, dzielimy stronami przez dodatnie
\(\displaystyle{ 4left( x+y+z
ight)^2}\) i załatwione. Tutaj masz nierówność Höldera:

8 kwi 2018, o 15:34 --Tutaj znalazłem dłuższą dyskusję na temat tej nierówności, może się przydać:
415517.htm

[pawlo007]

Wielkie dzięki