Witam, brak pomysłu na rozwiązanie tego zadania , główkowałem kilka godzin nad tym niestety nic nie wychodziło (zadanie na zaliczenie przedmiotu) jeśli ktoś był by w stanie mnie nakierować , powiedzieć jak lub rozwiązać zadanie był bym bardzo wdzięczny. Dołączam treść zadania i rysunek.
Treść zadania:
Cztery jednakowe połączone ze sobą na końcach przegubowo pręty, każdy o masie równej \(\displaystyle{ m}\), zawieszono w sposób podany na rys. 13.17. Do przegubów \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\) przyłożone są dwie równe co do wartości i przeciwnie skierowane poziome siły \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ -P}\). Wyznaczyć kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) określający położenie równowagi i odmierzany tak jak na rysunku. Tarcie w przegubach pominąć.
Ostatnio zmieniony 7 kwie 2018, o 22:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych. Pisz staranniej. Na przyszłość załączaj same obrazki.
Dobrym ale i skutecznym pomysłem będzie napisanie równania pracy przygotowanej \(\displaystyle{ \delta L}\) , która dla stanu równowagi równa jest zero, czyli:
\(\displaystyle{ \delta L = - mg \cdot \delta y_1 - mg \cdot \delta y_2 + P \cdot \delta x_3 = 0}\)
jeżeli zwroty osi współrzędnych dla skierowanych w górę i w prawo są dodatnie.
Układ ma jeden stopień swobody, bo zmiennym kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) przy pozostałych stałych (długościach członów) można zapisać położenie mechanizmu.
Zatem przemieszczeniem uogólnionym będzie \(\displaystyle{ \delta \alpha}\) i przy jego pomocy można napisać przemieszczenia : \(\displaystyle{ \delta y_1, \ \delta y_2, \ \delta x_3}\).
Więcej i lepiej opisane znajdzie Kolega w każdym podręczniku mechaniki analitycznej lub rozdziale o tym tytule w akademickich podręcznikach mechaniki, w części traktującej o dynamice.
Zastosowanie zasady prac wirtualnych do warunków równowagi układu prętów jak na rysunku. Parametrem określającym położenie układu wzorowanego na tzw. "nożycach norymberskich" jest kąt \(\displaystyle{ \alpha}\).
/Przy rozwiązaniu pomijamy zjawisko tarcia i wyznaczenie reakcji w przegubach/
1. Obieramy stały układ współrzędnych i określamy współrzędne punktu zaczepienia każdej siły czynnej (\(\displaystyle{ (P, Q)}\) jako funkcję parametru – kąta \(\displaystyle{ \alpha}\)
– Współrzędne punktu \(\displaystyle{ B(x_B,y_B)}\) \(\displaystyle{ x_B=k\cdot\sin\alpha}\), \(\displaystyle{ y_B=k\cdot\cos\alpha}\) ,
– współrzędne punktu \(\displaystyle{ D}\) \(\displaystyle{ x_D=-k\cdot\sin\alpha}\), \(\displaystyle{ y_D=k\cdot\cos\alpha}\) ,
– Współrzędne punktu \(\displaystyle{ F}\) \(\displaystyle{ x_F=\frac{k}{2}\cdot\sin\alpha}\), \(\displaystyle{ y_F=\frac{k}{2}\cdot\cos\alpha}\) ,
– współrzędne punktu \(\displaystyle{ G}\) \(\displaystyle{ x_G=\frac{k}{2}\cdot\sin\alpha}\), \(\displaystyle{ y_G=\frac{k}{2}\cdot\cos\alpha+k\cdot\cos\alpha = \frac{3}{2}k\cos\alpha}\) ,
– współrzędne punktu \(\displaystyle{ H}\) \(\displaystyle{ x_H=-\frac{k}{2}\cdot\sin\alpha}\), \(\displaystyle{ y_H=\frac{3k}{2}\cdot\cos\alpha}\) ,
– współrzędne punktu \(\displaystyle{ E}\) \(\displaystyle{ x_E=-\frac{k}{2}\cdot\sin\alpha}\), \(\displaystyle{ y_E=\frac{k}{2}\cdot\cos\alpha}\) .
2. Rzuty prędkości możliwych na osie układu – rzuty przesunięcia wirtualnego:
Obliczając pochodną względem czasu każdej współrzędnej punktu zaczepienia siły czynnej, otrzymujemy rzuty prędkości możliwych tzn. dowolnych prędkości na jaką pozwalają więzy – punkt posiadający taką prędkość porusza się zgodnie z więzami.
Punkt \(\displaystyle{ B}\) \(\displaystyle{ \frac{dx_B}{dt}=k\cos\alpha\frac{d\alpha}{dt}}\) \(\displaystyle{ \frac{dy_B}{dt}=-k\sin\alpha\frac{d\alpha}{dt}}\)
Punkt \(\displaystyle{ D}\) \(\displaystyle{ \frac{dx_D}{dt}=-k\cos\alpha\frac{d\alpha}{dt}}\) \(\displaystyle{ \frac{dy_D}{dt}=-k\sin\alpha\frac{d\alpha}{dt}}\)
Punkt \(\displaystyle{ F}\) \(\displaystyle{ \frac{dx_F}{dt}=\frac{k}{2}\cos\alpha\frac{d\alpha}{dt}}\) \(\displaystyle{ \frac{dy_F}{dt}=-\frac{k}{2}\sin\alpha\frac{d\alpha}{dt}}\)
Punkt \(\displaystyle{ G}\) \(\displaystyle{ \frac{dx_G}{dt}=\frac{k}{2}\cos\alpha\frac{d\alpha}{dt}}\) \(\displaystyle{ \frac{dy_G}{dt}=-\frac{3k}{2}\sin\alpha\frac{d\alpha}{dt}}\)
Punkt \(\displaystyle{ H}\) \(\displaystyle{ \frac{dx_H}{dt}=-\frac{k}{2}\cos\alpha\frac{d\alpha}{dt}}\) \(\displaystyle{ \frac{dy_H}{dt}=-\frac{3k}{2}\sin\alpha\frac{d\alpha}{dt}}\)
Punkt \(\displaystyle{ E}\) \(\displaystyle{ \frac{dx_E}{dt}=-\frac{k}{2}\cos\alpha\frac{d\alpha}{dt}}\) \(\displaystyle{ \frac{dy_E}{dt}=-\frac{k}{2}\sin\alpha\frac{d\alpha}{dt}}\)
3. Suma prac jaką wykonały wszystkie siły czynne na przesunięciu wirtualnym:
/Wykorzystamy: praca na dowolnym przesunięciu: \(\displaystyle{ W=P_x\frac{dx}{dt}+P_y\frac{dy}{dt}}\)/
Mamy więc sumę: \(\displaystyle{ W=P(k\cos\alpha\frac{d\alpha }{dt})+0(-k\sin\alpha\frac{d\alpha}{dt})-P(-k\cos\alpha\frac{d\alpha}{dt})+0(-k\sin\alpha\frac{d\alpha}{dt})+0(\frac{k}{2}\cos\alpha\frac{d\alpha}{dt})+Q(-\frac{k}{2}\sin\alpha\frac{d\alpha}{dt})+0(\frac{k}{2}\cos\alpha\frac{d\alpha}{dt})+Q(-\frac{3k}{2}\sin\alpha\frac{d\alpha}{dt})+0(-\frac{k}{2}\cos\alpha\frac{d\alpha}{dt})+Q(-\frac{3k}{2}\sin\alpha\frac{d\alpha}{dt})+0(-\frac{k}{2}\cos\alpha\frac{d\alpha}{dt})+Q(-\frac{k}{2}\sin\alpha\frac{d\alpha}{dt})}\)
Proponuję uzupełnienie, bo brak jest rysunku w postawionym pytaniu, o uzasadnienie wyboru punktów \(\displaystyle{ E,\:F,\:G}\) i \(\displaystyle{ H}\) oraz całkowitego obciążenia "pionowego" mechanizmu i pozostawienie postu wraz z rysunkiem jako „przyklejonego”, a to z tego powodu, że jest klasykiem o sposobie rozwiązywania równań równowagi sposobem Lagrange`a, do którego będzie można odsyłać zainteresowanych tą metodą.
W.Kr.
