Pokaż, że równanie ma jedyne rozwiązanie dla t->0.

[Leoneq]

Mam takie oto zadanie:
Pokaż, że równanie \(\displaystyle{ ty' + ay = f(t)}\) gdzie \(\displaystyle{ a > 0}\), \(\displaystyle{ \lim_{ t\to0 }f(t)=b}\)
ma jedyne rozwiązanie ograniczone dla \(\displaystyle{ t\to 0}\). Zbadaj przypadek \(\displaystyle{ a < 0}\)

No i doszedłem do czegoś takiego
\(\displaystyle{ y = \frac{ \int_{}^{} t^{a-1} f(t) dt - C} {t^{a}}}\)

I nie mam pojęcia jak to dalej ruszyć i co dają mi te warunki.

[bartek118]

Jedyność - przypuść, że istnieją dwa rozwiązania. Jakie wówczas równanie spełnia różnica tych rozwiązań? Otrzymasz równanie zmiennych rozdzielonych i wzór na różnicę między rozwiązaniami.

[Leoneq]

Czyli zakładam że istnieją dwa rozwiązania \(\displaystyle{ y_{1}}\) i \(\displaystyle{ y_{2}}\).
Wtedy \(\displaystyle{ ty_{1}' +ay_{1} - ty_{2}' - ay_{2} = f(t)-f(t)=0}\)

Dalej przekształcając mam:
\(\displaystyle{ \frac{y_{1}' - y_{2}'}{-a(y_{1} - y_{2})} = \frac{1}{t}}\)

Podstawiam jakieś \(\displaystyle{ z(t) = y_{1} - y_{2}}\)

I dostaję że \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dz}{-az} = \ln (t)}\)

a potem \(\displaystyle{ \ln (z ^{-a} ) = \ln (t)}\)

I dalej \(\displaystyle{ y_{1} - y_{2} = \sqrt[-a]{t} = \frac{1}{ \sqrt[a]{t} }}\)

I nadal niezbyt wiem gdzie mam wykorzystać granicę \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0}f(t) = b}\) i to że \(\displaystyle{ a > 0}\)

[bartek118]

No dobra - tylko, gdzieś stałą całkowania zgubiłeś. Masz, że dla dowolnych rozwiązań zachodzi
\(\displaystyle{ y_1 (x) = y_2(x) + \frac{C}{\sqrt[a]{t}}}\)
Zatem, jeśli \(\displaystyle{ C \neq 0}\), to drugie z rozwiązań nie jest ograniczone. Czyli rozwiązanie ograniczone istnieje co najwyżej jedno.

Granicę musisz wykorzystać, aby pokazać, że istnieje przynajmniej jedno ograniczone rozwiązanie.

[Leoneq]

Czy wystarczy że powiem że jeśli:
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0}f(t) = \lim_{t \to 0}ty'(t)+ay(t) = b}\)
To oznacza, że istnieje co najmniej jedno rozwiązanie, które jest ograniczone, bo jeśli nie istniało by rozwiązanie ograniczone to wtedy ta granica nie mogłaby być równa b, bo jeśli funkcja y dążyłaby do nieskończoności to jej pochodna byłaby większa od 0 więc ta granica byłaby nieskończona bo a>0 i podobnie w minus nieskończoności.

Za to warunek \(\displaystyle{ a>0}\) daje nam to, że nie może istnieć więcej niż jedno rozwiązanie które jest ograniczone, bo przy warunku \(\displaystyle{ a<0, \frac{C}{ \sqrt[a]{t} }}\) nie będzie dążyć do nieskończoności dla \(\displaystyle{ t \rightarrow 0}\)