Transformacja Z w dziedzinie czasu.

[szuchasek]

Skoro:

\(\displaystyle{ y[n] \Leftrightarrow Y(z)}}\)

\(\displaystyle{ y[n-1] \Leftrightarrow z ^{-1}Y(z)+ y[-1]}\)

to czy dla

\(\displaystyle{ y[n-2]}\) będzie \(\displaystyle{ z ^{-2}Y(z)}+z ^{-1} +y[-2]}\) ?

Z góry dziękuję.

[Janusz Tracz]

Tylko że przekształcenie \(\displaystyle{ \mathcal{Z}}\) liczymy dla ciągów z definicji określonych na \(\displaystyle{ \NN \cup \left\{ 0\right\}}\) przyjmując \(\displaystyle{ y(n)=0}\) dla \(\displaystyle{ n=-1,-2,-3,...}\). Czasem w podręcznikach można nie spotkać tego założenia ale wtedy każdy ciąg będzie pomnożony przez \(\displaystyle{ u(n)}\) (odpowiednik jedynki Heaviside’a tylko dla ciągów.) ten ciąg obetnie wszystkie wartości dla \(\displaystyle{ n \le -1}\). Dlatego zachodzą wzory:

\(\displaystyle{ y(n-k) \xrightarrow{\mathcal{Z}}z^{-k}\text{Y}(z) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{dla} \ k\in\NN}\)

\(\displaystyle{ y(n+k) \xrightarrow{\mathcal{Z}}z^{k}\text{Y}(z)- \sum_{r=0}^{k-1}y(r)z^{k-r} \ \ \text{dla} \ k\in\NN}\)

wzory te wynikają z definicji transformaty i początkowego założenia o ciągu.