Sinus hiperboliczny - równanie różniczkowe II rzędu

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
wolnio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 31 mar 2018, o 16:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Sinus hiperboliczny - równanie różniczkowe II rzędu

Post autor: wolnio »

Mam takie oto równanie:

\(\displaystyle{ y''-y'=\sinh x}\)

Z obliczeniem równania charakterystycznego nie mam problemu, jednak zastanawia mnie druga strona równania. Czy mogę sobie tego sinusa hiperbolicznego zastąpić jako:

\(\displaystyle{ \sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}}\)

No i jeżeli mogę to w jaki sposób ugryźć takie zadanko?
Ostatnio zmieniony 31 mar 2018, o 17:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol pochodnej to '. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Sinus hiperboliczny - równanie różniczkowe II rzędu

Post autor: kerajs »

Tak, mozesz tak rozpisać.
Całka ogólna równania jednorodnego to:
\(\displaystyle{ y_o=C_1+C_2e^x}\)
Wobec tego przewidujesz całkę szczególną równania niejednorodnego jako:
\(\displaystyle{ y_s=Axe^x+Be^{-x}}\)
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Sinus hiperboliczny - równanie różniczkowe II rzędu

Post autor: bartek118 »

Tak - możesz zastąpić.
Zauważ, że tak naprawdę masz równanie pierwszego rzędu. Podstawiając \(\displaystyle{ z = y'}\) dostajemy zagadnienie
\(\displaystyle{ z'(x) - z(x) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}}\)
Teraz, mnożąc obustronnie przez \(\displaystyle{ e^{-x}}\) mamy
\(\displaystyle{ e^{-x} z'(x) + (-e^{-x})z(x) = \frac{1 - e^{-2x}}{2} \\
(e^{-x} z(x) ) ' = \frac{1 - e^{-2x}}{2}}\)

Podstawiając \(\displaystyle{ u(x) = e^{-x} z(x)}\) dostajesz równanie
\(\displaystyle{ u'(x) = \frac{1 - e^{-2x}}{2} \\
u(x) = \int\frac{1 - e^{-2x}}{2} \, \mathrm{d}x}\)

Obliczasz tę całkę, a następnie cofasz się z podstawieniami.
wolnio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 31 mar 2018, o 16:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Sinus hiperboliczny - równanie różniczkowe II rzędu

Post autor: wolnio »

Okej, więc zacząłem robić to zadanko.
y' z całki szczególnej wyszedł mi taki sam jak całka szczególna i należy to podstawić do głównego wzoru.
Oto jak to wygląda:
\(\displaystyle{ Ae^{x}+Be^{-x}-Ae^{x}+Be^{-x}=\frac{1}{2}e^{x}-\frac{1}{2}e^{-x}}\)
A po skróceniu:
\(\displaystyle{ 2Be^{-x}=\frac{1}{2}e^{x}-\frac{1}{2}e^{-x}}\)
No i teraz co? Wyjdzie mi że:
\(\displaystyle{ A=0}\)
\(\displaystyle{ B=\frac{1}{4}}\)
Mam rację?
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Sinus hiperboliczny - równanie różniczkowe II rzędu

Post autor: bartek118 »

wolnio pisze:Okej, więc zacząłem robić to zadanko.
y' z całki szczególnej wyszedł mi taki sam jak całka szczególna i należy to podstawić do głównego wzoru.
Oto jak to wygląda:
\(\displaystyle{ Ae^{x}+Be^{-x}-Ae^{x}+Be^{-x}=\frac{1}{2}e^{x}-\frac{1}{2}e^{-x}}\)
A po skróceniu:
\(\displaystyle{ 2Be^{-x}=\frac{1}{2}e^{x}-\frac{1}{2}e^{-x}}\)
No i teraz co? Wyjdzie mi że:
\(\displaystyle{ A=0}\)
\(\displaystyle{ B=\frac{1}{4}}\)
Mam rację?
Zdaje się, że zgubiłeś iksa: \(\displaystyle{ Axe^x}\), a nie \(\displaystyle{ Ae^x}\).
wolnio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 31 mar 2018, o 16:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Sinus hiperboliczny - równanie różniczkowe II rzędu

Post autor: wolnio »

Faktycznie
No to skoro tak to:
\(\displaystyle{ y_{s}=Axe^{x}+Be^{-x} \\
y_{s}'=Axe^{x}+Ae^{x}-Be^{-x} \\
y_{s}''=Axe^{x}+Ae^{x}+Ae^{x}+Be^{-x}}\)

To później po podstawieniu:
\(\displaystyle{ A=\frac{1}{4} \\
B=0}\)

?
Ostatnio zmieniony 2 kwie 2018, o 20:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol pochodnej to ' - nie używaj \prime.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Sinus hiperboliczny - równanie różniczkowe II rzędu

Post autor: kerajs »

wolnio pisze:\(\displaystyle{ e^{-x} \\
y_{s}'=Axe^{x}+Ae^{x}-Be^{-x} \\
y_{s}''=Axe^{x}+Ae^{x}+Ae^{x}+Be^{-x}}\)

To później po podstawieniu:
\(\displaystyle{ A=\frac{1}{4} \\
B=0}\)
Mi wychodzi inaczej:
\(\displaystyle{ y''-y'= \frac{1}{2}e^x- \frac{1}{2}e^{-x} \\
\left( Axe^{x}+Ae^{x}+Ae^{x}+Be^{-x}\right) -\left( Axe^{x}+Ae^{x}-Be^{-x}\right) = \frac{1}{2}e^x- \frac{1}{2}e^{-x} Ae^{x}+2Be^{-x} = \frac{1}{2}e^x- \frac{1}{2}e^{-x} \\
A=\frac{1}{2} \wedge B=\frac{-1}{4}}\)


Rozwiązaniem równania jest:
\(\displaystyle{ y=C_1+C_2e^x+ \frac{1}{2}xe^x- \frac{1}{4}e^{-x}}\)
Ostatnio zmieniony 2 kwie 2018, o 20:47 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
wolnio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 31 mar 2018, o 16:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Sinus hiperboliczny - równanie różniczkowe II rzędu

Post autor: wolnio »

Okej.
Wszystko dobrze liczyłem tylko do wzoru podstawiłem \(\displaystyle{ y}\) zamiast \(\displaystyle{ y'}\).
Ale teraz wszystko się zgadza.
Dzięki za pomoc
ODPOWIEDZ