Całka podwójna

[kamilm758]

Witam. Czy dobrze obliczyłem tę całkę podwójną?

\(\displaystyle{ \int_{0}^{x} \int_{0}^{y}(u-uv) \mbox{d}u \mbox{d}v}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{y}(u-uv) \mbox{d}v=u \int_{0}^{y}1 \mbox{d}v - u \int_{0}^{y}v \mbox{d}v
=uy- \frac{1}{2}uy^2}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{x}(uy- \frac{1}{2}uy^2) \mbox{d}u= y\int_{0}^{x}u \mbox{d}u-\frac{1}{2}y^2
\int_{0}^{x}u \mbox{d}u= \frac{1}{2}x^2y- \frac{1}{4}x^2y^2}\)

[PoweredDragon]

Chyba ci się pomyliło \(\displaystyle{ u}\) z \(\displaystyle{ v}\). W pierwszej całce du dotyczy całki \(\displaystyle{ \int_0^y}\), a ty zrobiłeś na odwrót

[kamilm758]

A jak wynik? Bo chyba to znaczenia nie ma?

[PoweredDragon]

No chyba jednak ma, zważywszy na to, że w pierwotnej całce masz samotnie u, a nie v. Wynik powinien wyjść \(\displaystyle{ \frac{1}{2} y^2 x - \frac{1}{4} x^2 y^2}\). Wynik nie miałby znaczenia, gdyby podcałkowa była symetryczna, ale u ciebie akurat symetryczna nie jest.

[Mariusz M]

Funkcja podcałkowa jest o rozdzielonych zmiennych
a obszar całkowania nie zależy od zmiennych po których całkujemy więc można bez przeszkód
zmieniać kolejność całkowania

[PoweredDragon]

To dlaczego, w takim razie, wyniki są różne?

[Mariusz M]

Mnie chodziło o takie coś

\(\displaystyle{ \int_{0}^{x}u\left(\int_{0}^{y}\left( 1-v\right) \mbox{d}v \right) \mbox{d}u}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{y}\left( 1-v\right)\left( \int_{0}^{x}u \mbox{d}u \right) \mbox{d}v}\)

[PoweredDragon]

No to taka operacja jest oczywiście dozwolona, ale autor tematu z całki

\(\displaystyle{ \int_0^x \int_0^y f(u, v) \ \mbox{d}u \ \mbox{d}v}\) zrobił \(\displaystyle{ \int_0^x \int_0^y f(u, v) \ \mbox{d}v \ \mbox{d}u}\), a to jest to samo tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ f(u, v) = f(v, u)}\)