Zbieżność szeregu.

kwaw · Post autor: **kwaw** » 23 mar 2018, o 23:15

Zbadać zbieżność szeregu o wyrazach \(\displaystyle{ \frac{\cos (n\pi)}{2\sqrt{n}} \cdot \tg \left( \frac{n\pi}{3} \right)}\)

Proszę o podpowiedź.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 23 mar 2018, o 23:24

Po pierwsze mamy \(\displaystyle{ \cos(n\pi)=(-1)^n}\), co możesz łatwo udowodnić indukcyjnie, korzystając z okresowości cosinusa.
Po drugie zachodzi
\(\displaystyle{ \tg \left( \frac{n\pi}{3}\right) =(-1)^{n+1} \cdot \sqrt{3}}\) czy coś w tym stylu, gdyż
\(\displaystyle{ \tg \frac \pi 3=\sqrt{3}}\) oraz \(\displaystyle{ \tg \left( \frac 2 3\pi\right) =-\sqrt{3}}\), a także
\(\displaystyle{ \tg\left( \frac 4 3\pi\right) =\sqrt{3}}\) oraz
\(\displaystyle{ \tg(x+k\pi)=\tg x, \ k=1,2\ldots}\).
To powinno pomóc…-- 23 mar 2018, o 23:26 --A nie sorry, przecież np. \(\displaystyle{ \tg \pi=0}\). Moim zdaniem należy tutaj skorzystać z kryterium Dirichleta.
Sumy częściowe \(\displaystyle{ \sum_{}^{}(-1)^n \tg \left( \frac{n\pi}{3}\right)}\) są ograniczone, zaś
\(\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{n}}}\) maleje i zbiega do zera.

kwaw · Post autor: **kwaw** » 23 mar 2018, o 23:29

Mam problem z opisaniem tego, że co trzeci wyraz się zeruje. Dlatego nie można zapisać, że ten tanges równa się \(\displaystyle{ (-1)^{coś}}\).
Ok, przeczytałem wiadomość.
Jest inny sposób na pokazanie ograniczoności niż przez sprawdzenie podzielności przez 6?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 23 mar 2018, o 23:40

Ja tam innej metody nie znam. Sumy typu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{6k} (-1)^n \tg\left( \frac{n\pi}{3}\right)}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,3\ldots}\) się faktycznie wyzerują, co łatwo uzasadnić indukcyjnie, a prostszego sposobu nie wymyśliłem.

Janusz Tracz · Post autor: **Janusz Tracz** » 23 mar 2018, o 23:41

Z tym akurat nie ma problemu. Faktem jest że co trzeci wyraz się zeruje ale dodanie zera do sumy nie zmienia wyniku więc wszystkie te zera można pominąć. Ciąg \(\displaystyle{ \cos\left( \pi n\right) \cdot \tg\left( \frac{ \pi }{3}n \right)}\) ma ograniczoną sumę częściową co widać z jej okresowości (a raczej oscylacji). \(\displaystyle{ \left\{ \cos\left( \pi n\right) \cdot \tg\left( \frac{ \pi }{3}n \right)\right\}_{n=1}^{ \infty }=\left\{ - \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 0 , \sqrt{3}, \sqrt{3},... \right\}}\). Więc ciąg sum częściowych to \(\displaystyle{ \left\{ S_n\right\}_{n=1}^{ \infty }=\left\{ - \sqrt{3},-2 \sqrt{3},-2 \sqrt{3}, - \sqrt{3},0,- \sqrt{3},-2 \sqrt{3},... \right\}}\). Widać że \(\displaystyle{ \forall (n\in\NN) -2 \sqrt{3} \le S_n \le 0}\). Ponad to \(\displaystyle{ \frac{1}{2 \sqrt{n} }}\) maleje monotoniczne do zera. Co jest warunkiem wystarczającym by potwierdzić zbieżność (chodzi o układ tych warunków).