Niezawodność ogniw jest funkcją czasu

[Tomko23]

Niezawodność ogniw jest funkcją czasu

\(\displaystyle{ R(t)=2\exp(-Lt)-\exp(-2Lt), t \ge 0 , L=0,0005h^{-1}}\)

Należy obliczyć:
a) funkcje zawodności , b)gęstość prawdopodobieństwa czasu zdatności, c) intensywność uszkodzeń. d) oczekiwany czas zdatności, e) medianę czasu zdatności, f) kwartyle dolny i górne czasu zdatności.
Mógłby mi ktoś pomóc rozwiązać te pkt ?

[janusz47]

\(\displaystyle{ R(t) = 2\exp(-\lambda t) - \exp(-2\lambda t), \ \ t\geq 0, \lambda = 0.0005 h^{-1}.}\)

Pochodna I rzędu funkcji niezawodności \(\displaystyle{ R}\):

\(\displaystyle{ R'(t) = -2\lambda \exp(-\lambda t)[1 - \exp(-\lambda t)]< 0,}\)

więc funkcja ta jest ściśle malejąca od \(\displaystyle{ 1}\) w zerze do zera, gdy czas \(\displaystyle{ t\rightarrow \infty.}\)

Pochodna II rzędu:

\(\displaystyle{ R''(t) = 2lambda^2exp(-lambda t)[1 - 2exp(-lambda t)}\)

zmienia znak z ujemnego na dodatni w chwili

\(\displaystyle{ t_{0} = \lambda^1 \ln(2)= 0,693\cdot 0.0005^{-1}= 1386 h,}\)

więc funkcja niezawodności ma w tym miejscu punkt przegięcia (proszę wykonać rysunek).

Z przebiegu funkcji niezawodności można wywnioskować, że populacja rozważanych obiektów nie jest jednorodna. Oznacza to, że część ogniw ma krótki czas zdatności \(\displaystyle{ 1386 h ,}\) pozostałe dużo dłuższy.

Funkcja zawodności:

\(\displaystyle{ F(t) = 1 - 2\exp(-\lambda t) + exp(-2\lambda t).}\)

Obliczona gęstość prawdopodobieństwa czasu zdatności:

\(\displaystyle{ f(t) = 2\lambda[\exp(-\lambda t) - exp(-2\lambda t)].}\)

Intensywność uszkodzeń:

\(\displaystyle{ \lambda(t) = \frac{2\lambda [ \exp(-\lambda t) - exp(-2\lambda t)]}{2\exp(-\lambda t)- exp(-2\lambda t)} = 2\lambda \cdot \frac{1 - \exp(-\lambda t)}{2 - \exp(-\lambda t)}.}\)

Oczekiwany czas zdatności:

\(\displaystyle{ E(T) = \int_{0}^{\infty}[2 \exp(-\lambda t)- \exp(-2\lambda t)]dt = 2\lambda ^{-1}-0.5\lambda^{-1}= 1.5 \lambda^{-1}= 3000 h.}\)

\(\displaystyle{ 125}\) dni - przy ciągłym użytkowaniu ogniwa.


Kwantyl rzędu \(\displaystyle{ p}\) jest rozwiązaniem równania:

\(\displaystyle{ 2\exp(-\lambda t_{p}) - \exp(-2\lambda t_{p}) = 1- p.}\)

Kładąc

\(\displaystyle{ \exp(-\lambda t_{p})= x,}\)

otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 2x - x^2 = 1- p, \ \ 0\leq x \leq 1.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \exp(-\lambda t_{p}) = 1 - \sqrt{p},}\)

\(\displaystyle{ t_{p} = -\lambda^{-1}\ln(1 -\sqrt{p}).}\)

Kwartyle:

- dolny:

\(\displaystyle{ t_{0.25}= 1386 h \approx 58}\) dni.

-mediana:

\(\displaystyle{ t_{0.5} = 2446 h \approx 102}\) dni.

-górny:

\(\displaystyle{ t_{0.75} = 4020 h = 168}\) dni.

Proszę praktycznie zinterpretować obliczone charakterystyki liczbowe populacji ogniw.

[Tomko23]

W jaki sposób kwartyle zostały obliczone ? Otrzymaliśmy tak jak by funkcje kwadratową ale nie rozumiem skąd potem pojawiło się równanie exp ? I jeszcze jedno pytanie skąd wiemy ile wynosza poszczególne kwartyle ??

[janusz47]

Z równania kwadratowego za pomocą \(\displaystyle{ \Delta}\) i podstawienia \(\displaystyle{ x.}\)

albo z równań:

\(\displaystyle{ (x^2 -2x +1) = p, \ \ (x-1)^2 =p, \ \ x = 1 - \sqrt{p}, \ \ 0 \leq x \leq 1}\) i podstawienia \(\displaystyle{ x.}\)

Z definicji kwartyli.

[Tomko23]

Z równania kwadratowego za pomocą \(\displaystyle{ \Delta}\) i podstawienia \(\displaystyle{ x.}\)

albo z równań:

\(\displaystyle{ (x^2 -2x +1) = p, \ \ (x-1)^2 =p, \ \ x = 1 - \sqrt{p}, \ \ 0 \leq x \leq 1}\) i podstawienia \(\displaystyle{ x.}\)

Z definicji kwartyli.

No rozumiem i później po wyliczeniu naszej delty wyliczamy nasze \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\) i podstawiamy jedno z tych to naszego pierwotnego równania delty ?

-- 18 mar 2018, o 11:57 --

A nie powinno być \(\displaystyle{ x^2 +2x - \frac{1}{2} = 0}\)

[janusz47]

Nie powinno!

Proszę nauczyć się rozwiązywania równań kwadratowych z wyróżnikiem \(\displaystyle{ \Delta >0}\) i prostych równań wykładniczych!

[Tomko23]

Nie powinno!

Proszę nauczyć się rozwiązywania równań kwadratowych z wyróżnikiem \(\displaystyle{ \Delta >0}\) i prostych równań wykładniczych!

Czyli mamy równanie \(\displaystyle{ x^2-2x+1}\) i delta tego równanie wynosi 0 więc mamy 1 miejsce zerowe które wynosi 1.. ?

[janusz47]

Uwzględniamy jedno \(\displaystyle{ x_{1}}\) - z dwóch miejsc zerowych wielomianu:

\(\displaystyle{ f(x) = x^2 - 2x + 1 - p}\)

\(\displaystyle{ a =1, \ \ b = -2, \ \ c = 1- p,}\)

\(\displaystyle{ \Delta = b^2 - 4ac > 0 , \ \ x_{1} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \ \ x_{2} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a},}\)

które należy do przedziału \(\displaystyle{ [0, 1].}\)