Grupa przemienna

[max123321]

Czy grupa przemienna rzędu \(\displaystyle{ 625}\), w której elementów rzędu \(\displaystyle{ 25}\) jest dokładnie \(\displaystyle{ 20}\) jest cykliczna?

Przypuszczam, że jest cykliczna, bo jest takie twierdzenie, że jeśli \(\displaystyle{ k|n}\) to w grupie cyklicznej rzędu \(\displaystyle{ n}\) jest dokładnie jest \(\displaystyle{ \varphi (k)}\) elementów rzędu \(\displaystyle{ k}\).

Zatem jeśli ta grupa jest cykliczna to elementów rzędu \(\displaystyle{ 25}\) jest tyle co liczb względnie pierwszych z \(\displaystyle{ 25}\) i mniejszych od niej czyli \(\displaystyle{ 20}\). Ale czy w drugą stronę to działa? Nie wiem.

[leg14]

Rozpisz sobie z klasyfikacji grup abelowych skończenie generowanych jakie są możliwe grupy rzędu \(\displaystyle{ 625}\) i policz w każdej z nich liczbę elementów rzędu 25.

[max123321]

Aha no dobra to mamy tak:
\(\displaystyle{ \ZZ_{625}}\) ma \(\displaystyle{ \varphi (25)}\) elementów rzędu \(\displaystyle{ 25}\) czyli \(\displaystyle{ 20}\)
\(\displaystyle{ \ZZ_{125}}\) ma \(\displaystyle{ \varphi (25)}\) elementów rzędu \(\displaystyle{ 25}\) czyli \(\displaystyle{ 20}\)
\(\displaystyle{ \ZZ_{25}}\) ma \(\displaystyle{ \varphi (25)}\) elementów rzędu \(\displaystyle{ 25}\) czyli \(\displaystyle{ 20}\)
\(\displaystyle{ \ZZ_{5}}\) ma \(\displaystyle{ 0}\) elementów rzędu \(\displaystyle{ 25}\)

Czyli \(\displaystyle{ \ZZ_{625}}\) ma \(\displaystyle{ 20}\) elementów rzędu \(\displaystyle{ 25}\) i jest cykliczna bo generowana przez jedynkę.
\(\displaystyle{ \ZZ_{125} \times \ZZ_5}\) ma \(\displaystyle{ 20}\) elementów rzędu \(\displaystyle{ 25}\) i nie jest cykliczna bo nie ma elementu rzędu \(\displaystyle{ 625}\).
\(\displaystyle{ \ZZ_{25} \times \ZZ_{5} \times \ZZ_{5}}\) ma też \(\displaystyle{ 20}\) elementów rzędu \(\displaystyle{ 25}\) i też nie jest cykliczna bo nie ma elementu rzędu \(\displaystyle{ 625}\).
\(\displaystyle{ \ZZ_{25} \times \ZZ_{25}}\) ma \(\displaystyle{ 20*25+5*20}\) elementów rzędu \(\displaystyle{ 25}\), więc nie spełnia warunków zadania.
\(\displaystyle{ \ZZ_{5} \times \ZZ_{5} \times \ZZ_{5} \times \ZZ_5}\) ma zero elementów rzędu \(\displaystyle{ 25}\) zatem też nie spełnia warunków zadania.

Czyli ogólnie mówiąc ta grupa nie jest cykliczna (choćby \(\displaystyle{ \ZZ_{125} \times \ZZ_5}\)).

Tak jest ok?

[leg14]

Nie. Jeżeli \(\displaystyle{ \ZZ_{125}}\) ma 20 elementów rzędu 25, to \(\displaystyle{ \ZZ_{125} \times \ZZ_5}\) ma ich znacznie więcej

[max123321]

Aha no dobra bo element rzędu \(\displaystyle{ 25}\) razy element rzędu \(\displaystyle{ 5}\) to też jest element rzędu \(\displaystyle{ 25}\). Czyli \(\displaystyle{ \ZZ_{125} \times \ZZ_5}\) ma \(\displaystyle{ 100}\) elementów rzędu \(\displaystyle{ 25}\).

To w takim razie \(\displaystyle{ \ZZ_{25} \times \ZZ_{5} \times \ZZ_{5}}\) ma \(\displaystyle{ 500}\) elementów rzędu \(\displaystyle{ 25}\).

Czyli z tego by wynikało, że tylko \(\displaystyle{ \ZZ_{625}}\) spełnia warunki zadania, a ta jest cykliczna czyli odpowiedź jest twierdząca. Tak?