Udowodnij nierówność
-
Biel124
- Użytkownik
- Posty: 121
- Rejestracja: 28 wrz 2017, o 18:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
Udowodnij nierówność
Wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) wybrano dowolny punkt \(\displaystyle{ P}\). Wykazać, że: \(\displaystyle{ AB+BC+AC>PA+PB+PC}\).
-
bosa_Nike
- Użytkownik
- Posty: 1668
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Udowodnij nierówność
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[x=0.7cm,y=0.6cm]
\clip(-2.,-6.) rectangle (6.,-1.);
\draw (-1.2,-5.4)-- (1.7,-2.3);
\draw (1.7,-2.3)-- (5.6,-4.8);
\draw (5.6,-4.8)-- (-1.2,-5.4);
\draw (1.7,-2.3)-- (1.1,-5.2);
\draw (-0.2,-4.3)-- (5.6,-4.8);
\draw (-1.2,-5.4)-- (3.6,-3.5);
\begin{scriptsize}
\draw (1.7,-2.0) node {A};
\draw (-1.5,-5.4) node {B};
\draw (5.9,-4.8) node {C};
\draw (1.1,-4.2) node {P};
\draw (-0.4,-4.2) node {C'};
\draw (3.9,-3.3) node {B'};
\draw (1.0,-5.5) node {A'};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}}\)
Z \(\displaystyle{ \triangle AA'C}\) mamy \(\displaystyle{ A'A<CA+A'C\ \quad (*)}\)
Z \(\displaystyle{ \triangle PA'B}\) mamy \(\displaystyle{ PB<A'B+PA'\quad (**)}\)
Do obu stron \(\displaystyle{ (**)}\) dodajemy długość odcinka \(\displaystyle{ PA}\) i stosujemy \(\displaystyle{ (*)}\):
\(\displaystyle{ PA+\underbrace{PB<A'B+(PA'}_{(**)}+PA)=A'B+\underbrace{A'A<CA+(A'C}_{(*)}+A'B)=CA+BC}\)
Trzeba teraz analogicznie postąpić z parami trójkątów \(\displaystyle{ BB'A,PB'C}\) oraz \(\displaystyle{ CC'B,PC'A}\), by uzyskać odpowiednio \(\displaystyle{ PB+PC<AB+CA}\) oraz \(\displaystyle{ PA+PC<AB+BC}\), a następnie dodać otrzymane nierówności.
\clip(-2.,-6.) rectangle (6.,-1.);
\draw (-1.2,-5.4)-- (1.7,-2.3);
\draw (1.7,-2.3)-- (5.6,-4.8);
\draw (5.6,-4.8)-- (-1.2,-5.4);
\draw (1.7,-2.3)-- (1.1,-5.2);
\draw (-0.2,-4.3)-- (5.6,-4.8);
\draw (-1.2,-5.4)-- (3.6,-3.5);
\begin{scriptsize}
\draw (1.7,-2.0) node {A};
\draw (-1.5,-5.4) node {B};
\draw (5.9,-4.8) node {C};
\draw (1.1,-4.2) node {P};
\draw (-0.4,-4.2) node {C'};
\draw (3.9,-3.3) node {B'};
\draw (1.0,-5.5) node {A'};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}}\)
Z \(\displaystyle{ \triangle AA'C}\) mamy \(\displaystyle{ A'A<CA+A'C\ \quad (*)}\)
Z \(\displaystyle{ \triangle PA'B}\) mamy \(\displaystyle{ PB<A'B+PA'\quad (**)}\)
Do obu stron \(\displaystyle{ (**)}\) dodajemy długość odcinka \(\displaystyle{ PA}\) i stosujemy \(\displaystyle{ (*)}\):
\(\displaystyle{ PA+\underbrace{PB<A'B+(PA'}_{(**)}+PA)=A'B+\underbrace{A'A<CA+(A'C}_{(*)}+A'B)=CA+BC}\)
Trzeba teraz analogicznie postąpić z parami trójkątów \(\displaystyle{ BB'A,PB'C}\) oraz \(\displaystyle{ CC'B,PC'A}\), by uzyskać odpowiednio \(\displaystyle{ PB+PC<AB+CA}\) oraz \(\displaystyle{ PA+PC<AB+BC}\), a następnie dodać otrzymane nierówności.