Metoda szeregów potęgowych

[Benny01]

Znalazłem pewne zadanie, gdzie trzeba rozwiązać równanie różniczkowe z warunkiem początkowym metodą szeregów potęgowych. Mógłby ktoś podać przykład jak takie coś wygląda lub odesłać do odpowiedniego wątku/literatury?

[Premislav]

Tu coś znalazłem:

Kod: Zaznacz cały

https://math.okstate.edu/people/binegar/2233-S99/2233-l24.pdf

Ogólnie mógłbym coś rozwiązać, ale nie podałeś swojego zadania, a nie chce mi się wymyślać przykładu. Generalnie przewidujemy rozwiązanie w postaci szeregu potęgowego, wstawiamy do równania, różniczkując wyraz po wyrazie i szukamy zależności rekurencyjnej na współczynniki tego szeregu, po czym rozwiązujemy rekurencję, wydobywając wzór jawny na te współczynniki.

[Benny01]

Co jeśli mamy równanie nieliniowe niejednorodne?

[Premislav]

Pokaż konkretny przykład, to może coś poradzimy. Można wtedy pomyśleć o rozwinięciu także części niejednorodnej w szereg potęgowy i przyrównaniu współczynników, po prostu zależność rekurencyjna może być bardziej skomplikowana.

Np.
\(\displaystyle{ y''+y'+y=xe^x}\) (to można by to pewnie zrobić metodą przewidywań albo uzmienniania stałej, ale już mniejsza z tym) z jakimiś tam warunkami początkowymi, przewidujemy \(\displaystyle{ y(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } a_n x^n}\) i rozwijamy też \(\displaystyle{ xe^x= \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{(n-1)!}}\), no i przyrównujemy współczynniki przy odpowiednich potęgach.

-- 6 mar 2018, o 23:29 --

Aczkolwiek rekurencje niejednorodne rozwiązuje się metodami analogicznymi do metody przewidywań i metody uzmienniania stałej (wariacji parametru), więc jeśli przykład nie jest jakoś szczególnie dobrany, to przy równaniach niejednorodnych ta metoda [tj. metoda szeregów potęgowych] jest niezbyt opłacalna.

[Benny01]

Zastąp \(\displaystyle{ y:=y^2}\). Chyba się trochę skomplikuje.

[Premislav]

Nie tyle trochę się komplikuje, co bardzo wątpię, by metoda szeregów potęgowych miała tu zastosowanie.

[Benny01]

Takie mam polecenie.

[Premislav]

Podaj pełną treść, może jest jakiś punkt zaczepienia.

Może trochę przesadziłem, jako taka ta metoda może działać teoretycznie, ale rachunki mogą być nie do przeprowadzenia dla zwykłych ludzi.
Jak wystąpi \(\displaystyle{ y^2}\), to do akcji wchodzi iloczyn Cauchy'ego szeregów i robi się na pierwszy rzut oka naprawdę nieciekawie.

[Benny01]

No właśnie chciałem wcisnąć ten szereg Cauchy'ego i coś pogrupować, ale chyba nie bardzo będzie co.
\(\displaystyle{ y'=x^2-y^2}\), \(\displaystyle{ y(0)=0}\)

[Premislav]

\(\displaystyle{ y(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } a_n x^n\\ y'(x)= \sum_{n=0}^{ \infty }(n+1)a_{n+1} x^n\\y^2= \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\sum_{k=0}^{n}a_k a_{n-k}\right)x^n}\)
i dostajemy coś takiego:
\(\displaystyle{ a_0=0}\) oraz
\(\displaystyle{ (n+1)a_{n+1}=- \sum_{k=0}^{n}a_k a_{n-k}}\) dla \(\displaystyle{ n=1}\) oraz \(\displaystyle{ n=3,4\ldots}\)
natomiast
\(\displaystyle{ 3a_3=1-\sum_{k=0}^{2}a_k a_{n-k}=1-a_1^2}\)

W tej chwili nie widzę jakiegoś oczywistego rozwiązania;
korzystając z tych zależności, które wypisałem, rozpisz sobie parę wyrazów dla niedużych \(\displaystyle{ n}\) i zastanów się, czy widzisz w tym jakiś zarys wzoru, a potem jeśli tak, to udowodnij prawdziwość wzoru na współczynniki indukcyjnie.
Jak zjem mocno spóźnioną kolację, to może chwilę jeszcze nad tym się zastanowię.

[Benny01]

Ok to na razie pobawię się tym. Dzięki.

\(\displaystyle{ 3a_3=1-\sum_{k=0}^{2}a_k a_{n-k}=1-a_1^2}\)

Btw. skąd ta \(\displaystyle{ 1}\)?

[Premislav]

Stąd, że masz \(\displaystyle{ x^2}\) po prawej stronie równania. Cała ta rekurencja wzięła się z porównania współczynników przy \(\displaystyle{ x^n}\) (to się wiąże z jednoznacznością rozwinięcia w szereg potęgowy wokół ustalonego punktu), no to \(\displaystyle{ x^2=1\cdot x^2}\) i dla \(\displaystyle{ n=2}\) będzie
\(\displaystyle{ 3a_3 x^2=x^2- \sum_{k=0}^{2}a_k a_{n-k}x^2}\)
czyli
\(\displaystyle{ 3a_3=1-\sum_{k=0}^{2}a_k a_{n-k}}\)

[Benny01]

Ok, bo myślałem, że Ty zapisałeś samo równanie jednorodne.

[Premislav]

Dobra, początek semestru, pracy na tę chwilę nie mam, życia towarzyskiego nie prowadzę, to sobie siądę i spróbuję to przeliczyć:
\(\displaystyle{ a_0=0}\) z warunku początkowego, a dalej korzystając z: \(\displaystyle{ (n+1)a_{n+1}=- \sum_{k=0}^{n}a_k a_{n-k}}\) mam
\(\displaystyle{ a_1=-a_0^2=0, \\ 2a_2=0 \Leftrightarrow a_2=0}\), dalej
\(\displaystyle{ 3a_3=1-\text{suma zer hehe}}\), czyli \(\displaystyle{ a_3=\frac 1 3}\), potem
dość łatwo zauważyć, że następne wyrazy się zerują, aż po \(\displaystyle{ a_6}\), bo
już \(\displaystyle{ 7a_7=- \sum_{k=0}^{6} a_k a_{6-k}=-a_3^2=-\frac{1}{9}}\), czyli \(\displaystyle{ a_7=-\frac{1}{63}}\).
Potem kolejnym niezerowym będzie \(\displaystyle{ a_{11}}\), bo \(\displaystyle{ 3+7=10=11-1}\) i
\(\displaystyle{ 11a_{11}=-a_3 a_7}\), czyli \(\displaystyle{ a_{11}=\frac{1}{11\cdot 189}}\).
Ale syf. Na jakich studiach i przedmiocie to dostałeś, jeśli można spytać?

Na poprawę nastroju: ... %5E2-y%5E2

[Benny01]

Na elektrotechnice, równania różniczkowe. WolframAlpha ogarnąłem wcześniej.

PS. Matma wraz z probalem powraca. If you know what I mean.

PS2. Czy \(\displaystyle{ a_{11}}\) nie będzie przypadkiem \(\displaystyle{ 2}\) razy większe?