Równanie różniczkowe

[Inoxx]

Wskaż zdanie prawdziwe :

Niech \(\displaystyle{ f: T \rightarrow \RR}\) gdy \(\displaystyle{ T \subset \RR^2}\) jest obustronnie otwartym i niech \(\displaystyle{ (t_0,x_0) \subsetT}\) . Które z następujących założeń wystarczy, aby równanie różniczkowe \(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} = f(x,t)}\) miało dokładnie jedno rozwiązanie przechodzące przez punkt \(\displaystyle{ (t_0,x_0)}\) ?

a) funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ T}\) i spełnia lokalny Lipschitza względem zmiennej \(\displaystyle{ x}\) ,
b) funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ F}\) , \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}}\) istnieje i jest ciągła ,
c) funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest nie ujemna w \(\displaystyle{ T}\) ,
d) funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ F}\) .

[janusz47]

Na podstawie twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań problemu Cauchy'ego - podpunkt a).

[bartek118]

Czym jest \(\displaystyle{ F}\)?