Równanie funkcyjne

[Szymeq]

Dzisiaj na finale kuratoryjnego z matematyki dla gimnazjum pojawiło się takie zadanie:
Funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) przyporządkowuję liczbie \(\displaystyle{ x}\) sumę jej cyfr. Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ n+f(n)+f(f(n))+f(f(f(n)))=2018}\)

Jedyne \(\displaystyle{ n}\) jakie znalazłem to \(\displaystyle{ 2003}\) i \(\displaystyle{ 1985}\) .

[Premislav]

Łatwo widać, że \(\displaystyle{ n<2018}\) .
W szczególności \(\displaystyle{ n}\) ma co najwyżej cztery cyfry w zapisie dziesiętnym, więc można zapisać, że:
\(\displaystyle{ n=1000a+100b+10c+d}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b,c,d \in\left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}}\), przy czym \(\displaystyle{ a\le 2}\) .
Zrobimy to z prymitywnych szacowań plus modulo \(\displaystyle{ 9}\) : operacja nakładania \(\displaystyle{ f}\) jak w zadaniu nie zmienia reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 9}\) , więc \(\displaystyle{ f(n)\equiv n\pmod{9}. \ f(f(n))\equiv n\pmod{9}}\) itd. a więc:
\(\displaystyle{ n+f(n)+f(f(n))+f(f(f(n)))\equiv 4n \pmod{9}}\)
Ponadto \(\displaystyle{ 2018\equiv 2\pmod{9}}\) , więc \(\displaystyle{ 4n\equiv 2\pmod{9}}\) , czyli \(\displaystyle{ n\equiv 5\pmod{9}}\) .
Nadto (bo są co najwyżej cztery cyfry \(\displaystyle{ n}\) i szacujemy z góry ich sumę, wstawiając największą możliwą, czyli \(\displaystyle{ 9}\) , ale nierówność będzie ostra, bo ma być \(\displaystyle{ n<2018}\)) \(\displaystyle{ f(n)<9+9+9+9=36, \ f(f(n))<9+9=18}\) , a stąd i \(\displaystyle{ f(f(f(n)))<9}\) , czyli
\(\displaystyle{ f(n)+f(f(n))+f(f(f(n)))<36+18+9=63}\) , czyli
\(\displaystyle{ n>2018-63=1955}\) .
W połączeniu z \(\displaystyle{ n\equiv 5\pmod{9}}\) daje to:
\(\displaystyle{ n=1958 \vee n=1967 \vee n=1976 \vee n=1985 \vee n=1994 \vee n=2003 \vee n=2012}\)
i wstawiamy na pałę do równania te liczby.
Tak naprawdę można się pokusić o mocniejsze szacowanie, a mianowicie np.
\(\displaystyle{ f(n)<2+9+9+9=29}\) i \(\displaystyle{ f(f(n))<2+9=11, \ f(f(f(n)))<9}\)
i wtedy \(\displaystyle{ n>2018-(29+11+9)=1971}\), co pozwala ograniczyć się do przypadków
\(\displaystyle{ n=1976 \vee n=1985 \vee n=1994 \vee n=2003 \vee n=2012}\) .

-- 5 mar 2018, o 18:08 --

No i dalej sprawdzamy na pałę, pięć przypadków to nie jest tragedia.

-- 5 mar 2018, o 18:08 --

Chociaż nie wykluczam, że można to zrobić ładniej.

[Szymeq]

Dzięki; w moim odczuciu trochę za trudne jak na konkurs kuratorujny

[Premislav]

To znaczy powiem tak: szacowanie sumy cyfr poprzez wstawienie maksymalnych to standardowy trick w tego typu zadaniach, ale kiedy uczestniczyłem w konkursach kuratoryjnych z matmy w gimnazjum na zasadzie „a co mi tam, spróbuję", bez przygotowania, to nie umiałem takich rzeczy ot tak wymyślić z nieba (choć teraz mi się to proste wydaje, no inna perspektywa), natomiast taki fakt, że suma cyfr liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ n}\) daje taką samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 9}\), co ta liczba, to miałem w zupełnie zwykłej podstawówce w piątej klasie, ale nie wykluczam, że od tego czasu wiele się w programie zmieniło, bo to były czasy prekambru.