Przestrzenie liniowe/unormowane - zależność

[ms7]

Czy istnieje przestrzeń liniowa w której nie da się określić normy? Innymi słowy, czy każda przestrzeń liniowa jest przestrzenią unormowaną?

[szw1710]

W każdej przestrzeni unormowanej mamy topologię zadaną przez normę, a więc i przez metrykę. Jak możesz przeczytać w linkowanym artykule, istnieją przestrzenie liniowe niemetryzowalne.

... ctor-space

[Kaf]

Na każdej przestrzeni liniowej można zadać normę (pod założeniem aksjomatu wyboru): ustal bazę przestrzeni i normę wektora określ jako sumę wartości bezwzględnych jego współrzędnych.

Jednak tak jak pisze szw1710, mając z góry zadaną topologię na \(\displaystyle{ X}\) niekoniecznie znajdziesz normę, która tę topologię generuje.

[ms7]

Z tego co napisał szw1710 wynika, że skoro każda przestrzeń unormowana jest metryzowalna, a ponadto istnieje przestrzeń liniowa niemetryzowalna, to musi istnieć przestrzń która jest liniowa ale nie jest unormowana.

Jak zatem odnieść to do:

Na każdej przestrzeni liniowej można zadać normę (pod założeniem aksjomatu wyboru): ustal bazę przestrzeni i normę wektora określ jako sumę wartości bezwzględnych jego współrzędnych.

?

[Kaf]

a ponadto istnieje przestrzeń liniowa niemetryzowalna?

Powinno być przestrzeń liniowo-topologiczna. Bez topologii ciężko mówić o (nie)metryzowalności.
Do tego też się tu odnoszę

Jednak tak jak pisze szw1710, mając z góry zadaną topologię na \(\displaystyle{ X}\) niekoniecznie znajdziesz normę, która tę topologię generuje.

Jeśli masz przestrzeń liniową \(\displaystyle{ X}\) (chodzi o strukturę algebraiczną) to możesz określić na niej normę w wyżej opisany sposób. Jeśli jednak masz dodatkowo na \(\displaystyle{ X}\) strukturę przestrzeni liniowo-topologicznej, to na ogół nie możesz żądać, by uzyskana (w ten czy inny sposób) norma generowała tę topologię.

[ms7]

Dzięki, czyli ogólnie można powiedzieć, że w pewnym sensie przestrzeń unormowana to przestrzeń liniowa i vice versa?

No bo unormowana z definicji jest przestrzenią liniową, natomiast mając liniową mogę zawsze wprowadzić normę. Dobrze rozumiem?

[Kaf]

Przestrzeń unormowana to z definicji przestrzeń liniowa z normą, więc każda p. unormowana jest oczywiście p. liniową. Jednak ciężko mówić, że jest też na odwrót. Jak wyżej było powiedziane, normę zawsze możesz wprowadzić, ale na ogół taka norma jak np. wyżej jest niezbyt dobra: zazwyczaj rozważa się przestrzenie liniowo-topologiczne (bo same przestrzenie liniowe zazwyczaj są zbyt ubogie, by móc coś ciekawego powiedzieć) i zazwyczaj taka norma się mocno "gryzie" z tą topologią, przez co jest do niczego, nie pasuje do tej przestrzeni. Sama możliwość zrobienia czegoś nie jest równoważna z tym, że to coś należy zrobić.

[Spektralny]

Oczywiście że można z uwagi na to, że wszystkie przestrzenie liniowe nad tym samym ciałem i tym samym wymiarze (mocy bazy) są izomorficzne jako przestrzenie liniowe. Można zatem dokonać standardowego transferu struktury.

Istotnie, niech \(\displaystyle{ V}\) będzie rzeczywistą bądź zespoloną przestrzenią liniową. Niech \(\displaystyle{ B}\) będzie bazą Hamela \(\displaystyle{ V}\). Rozważmy przestrzeń Hilberta \(\displaystyle{ \ell_2(B)}\) wszystkich sumowalnych z kwadratem funkcji na \(\displaystyle{ B}\). Odwzorowanie

• \(\displaystyle{ b\mapsto e_b\quad (b\in B)}\)

rozszerza się jednoznacznie do różnowartościowego operatora liniowego \(\displaystyle{ T\colon V\to \ell_2(B)}\) przy czym \(\displaystyle{ e_b}\) oznacza funkcję która w \(\displaystyle{ b}\) przyjmuje wartość 1, a wszędzie indziej 0. Wzór

• \(\displaystyle{ \|x\|^\prime = \|Tx\|\quad (x\in V)}\)

określa normę (pochodzącą od iloczynu skalarnego) w \(\displaystyle{ V}\).