Element nilpotentny

[Wiesiek7]

Witajcie Mam takie zadanie:
Czy istnieje niezerowy element nilpotentny w pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{45}[X]/(X,5)}\)?
Moim zdaniem nie, bo w tym pierścieniu istnieją tylko wyrazy wolne, które nie są podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\), czyli nie istnieje taka liczba \(\displaystyle{ x}\), która podniesiona do potęgi \(\displaystyle{ n}\) dawałaby \(\displaystyle{ 0}\), gdyż \(\displaystyle{ x}\) musiałoby być podzielne przez 5. Dobrze myślę?-- 22 lut 2018, o 22:01 --P.S. Ile ten pierścień ma elementów? 36 czy 5?

[Dasio11]

Czy istnieje niezerowy element nilpotentny w pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{45}[X]/(X,5)}\)?
Moim zdaniem nie, bo w tym pierścieniu istnieją tylko wyrazy wolne, które nie są podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\)

Nieściśle. Elementami tego pierścienia są warstwy (addytywne) ideału \(\displaystyle{ (X, 5),}\) więc nie może on składać się tylko z wyrazów wolnych (czyli liczb). Można jednak zauważyć, że w zbiorze \(\displaystyle{ \{ 0, 1, 2, 3, 4 \}}\) jest dokładnie po jednym reprezentancie z każdej warstwy (co należałoby uzasadnić), zatem gdy ustalimy dowolny element \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{45}[X]/(X,5)}\) (w celu wykazania, że nie jest on nilpotentem), to wiemy, że jest on postaci \(\displaystyle{ a + (X, 5)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a \in \{ 0, 1, 2, 3, 4 \}.}\)

czyli nie istnieje taka liczba \(\displaystyle{ x}\), która podniesiona do potęgi \(\displaystyle{ n}\) dawałaby \(\displaystyle{ 0}\), gdyż \(\displaystyle{ x}\) musiałoby być podzielne przez 5. Dobrze myślę?

Dobrze myślisz, ale na razie to tylko szkic.

P.S. Ile ten pierścień ma elementów? 36 czy 5?

A jak sądzisz?

[Wiesiek7]

Wielkie dzięki Ma 5 elementów i nie ma tam elementu nilpotentnego. Nie pisałem ściśle, to prawda, ale bardziej mi chodziło po prostu o odpowiedź a nie o ścisłe rozwiązanie. Pan profesor napisał na zajęciach, że ten pierścień jest izomorficzny z \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{9}}\). Dzień przed egzaminem zacząłem czytać to i wydawało mi się, że to jest źle i miałem rację. Chyba z nerwów ten chaos wypowiedzi Dziękuję za pomoc