Równanie postaci r. Schrodingera dla cząstki swobodnej

[Addiw777]

Sprawdzałem w pierwszym temacie tego działu i nie znalazłem rozwiązania dokładnie takiego samego
równania różniczkowego, a mianowicie równania postaci równania Schroedingera dla cząstki swobodnej. Nie wiem gdzie popełniam błąd, ale nie dostaję postaci rozwiązania, której bym się spodziewał.

Równanie do rozwiązania:
\(\displaystyle{ y'' = a^{2}\cdot y}\)

gdzie \(\displaystyle{ y = y(x)}\)
OK, no to przyjmuję, że istnieje funkcja \(\displaystyle{ u(y)}\) taka, że:
\(\displaystyle{ y' = u(y)}\),
a więc
\(\displaystyle{ y'' = u\cdot \frac{du}{dy}}\)
czyli
\(\displaystyle{ u\cdot\frac{du}{dy} = a^{2}y}\)

Rozwiązuję to równanie i dostaję
\(\displaystyle{ u^{2} = a^{2}\cdot y^{2} + C}\)
Wówczas chcę to podstawić do drugiej zależności, którą zapisałem, więc:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{a^{2}y^{2} +C}}\)

No i rozwiązanie tego równania daje mi kompletnie inną postać niż to co "ma wyjść". Gdzie robię błąd?

[Benny01]

\(\displaystyle{ y''-a^2y=0 \\
y=e^{rt} \\
r^2-a^2=0 \\
r=a \vee r=-a \\
y=C_1e^{-at}+C_2e^{at}}\)

[Addiw777]

OK, ale to jest takie rozwiązanie przez zgadnięcie, prawda? A jak tą metodą, którą chcę zastosować?

Zauważyłem, że jeśli w wyrażeniu
\(\displaystyle{ u^{2} = a^{2}y^{2} + C}\)

pominę stałą C, to dostanę wynik, które się spodziewam. Ale dlaczego miałbym ją zaniedbać?
Nie mam żadnych warunków początkowych, które by mi na to pozwalały.

[Benny01]

OK, ale to jest takie rozwiązanie przez zgadnięcie, prawda?

Nieprawda

Zauważyłem, że jeśli w wyrażeniu
\(\displaystyle{ u^{2} = a^{2}y^{2} + C}\)

pominę stałą C, to dostanę wynik, które się spodziewam. Ale dlaczego miałbym ją zaniedbać?
Nie mam żadnych warunków początkowych, które by mi na to pozwalały.

Ja zauważyłem, że bez pominięcia stałej wynik jest taki sam.