Zbiory skierowane - Rasiowa

[Xardas666]

U Rasiowej pojawia się taki przykład rzekomo skierowanego zbioru indeksów:

Niech \(\displaystyle{ R}\) będzie zbiorem wszystkich ciągów skończonych, których wyrazy należą do zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 0, 1\right\}}\). W zbiorze \(\displaystyle{ R}\) wprowadzimy relację \(\displaystyle{ \rho}\) w następujący sposób: dla dowolnych \(\displaystyle{ \left( a_1, \dots, a_n\right), \left( b_1, \dots, b_m\right)}\) należących do \(\displaystyle{ R}\):
\(\displaystyle{ \left( a_1, \dots, a_n\right)\rho\left( b_1, \dots, b_m\right) \iff \left( n < m \wedge \bigwedge\limits_{k} \left( 1 \leq k \leq n \Rightarrow a_k = b_k\right) \right).}\)
Łatwo można sprawdzić, że \(\displaystyle{ \rho}\) jest relacją przechodnią w \(\displaystyle{ R}\) i że spełnia warunek Moore'a-Smitha:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x \in R} \bigwedge\limits_{y \in R} \bigvee\limits_{z \in R} \left( x\rho z \wedge y\rho z\right).}\)

(Cytat trochę zedytowałem). Mi udało się jedynie pokzać kontrprzykład, mianowicie: \(\displaystyle{ \left( 1,0\right)}\) i \(\displaystyle{ \left( 1,1,0\right)}\). Jakoś nie widzę, bym mógł dla tych ciągów znaleźć wspólny następnik, ale może czegoś nie rozumiem i dlatego zapodaję tu temat - czy u Rasiowej jest błąd, czy ja błędnie rozumuję?

[Jan Kraszewski]

U Rasiowej jest błąd.

JK

[Xardas666]

Dzięki za odpowiedź.

[Jan Kraszewski]

Relacją skierowaną jest relacja odwrotna do \(\displaystyle{ \rho}\) (zakładając, że w \(\displaystyle{ R}\) jest ciąg pusty).

JK

[Xardas666]

Faktycznie jest. Wystarczy zamienić ciągi \(\displaystyle{ \left( a_1, \dots, a_n\right)}\) na \(\displaystyle{ \left( a_1, \dots, a_m\right)}\) i \(\displaystyle{ \left( b_1, \dots, b_m\right)}\) na \(\displaystyle{ \left( b_1, \dots, b_n\right)}\) i wtedy działa. Problem w tym, że kolejny przykład ma obrazować skierowany zbiór elementów przestrzeni \(\displaystyle{ X}\). Zgodnie z definicją:

Niech teraz \(\displaystyle{ X \neq \emptyset}\) będzie dowolną przestrzenią i niech \(\displaystyle{ \left( T, \rho\right)}\) będzie dowolnym skierowanym zbiorem indeksów. Wówczas każdą funkcję \(\displaystyle{ f: T \rightarrow X}\) będziemy nazywać skierowanym zbiorem elementów przestrzeni \(\displaystyle{ X}\).

Przykład zaś podaje następująco:

Przyjmijmy za przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) przedział \(\displaystyle{ \left\{ x \in \mathbb{R}: 0 < x < 1\right\}}\) i niech \(\displaystyle{ \left( R, \rho\right)}\) będzie skierowanym zbiorem indeksów z poprzedniego przykładu. Przyjmijmy dalej dla każdego \(\displaystyle{ a = \left( a_1, \dots, a_n\right) \in R:}\)
\(\displaystyle{ x_a = x_{\left(a_1, \dots, a_n \right) } = \frac{a_1}{2} + \cdots + \frac{a_n}{2^n}.}\)
Funkcja \(\displaystyle{ \left( x_a\right)_{a \in R}}\) jest skierowanym zbiorem elementów z przedziału \(\displaystyle{ \left\{ x \in \mathbb{R}: 0 < x < 1\right\}.}\)

Bo co wtedy przypisać owemu ciągowi pustemu? A jak go wykreślimy, to zbiór indeksów przestanie być skierowany i nie będziemy mogli utworzyć zbioru skierowanego zgodnie z powyższą definicją, o ile dobrze to teraz tak na bardzo szybko widzę...

[Jan Kraszewski]

Przykład zaś podaje następująco:

Przyjmijmy za przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) przedział \(\displaystyle{ \left\{ x \in \mathbb{R}: 0 < x < 1\right\}}\) i niech \(\displaystyle{ \left( R, \rho\right)}\) będzie skierowanym zbiorem indeksów z poprzedniego przykładu. Przyjmijmy dalej dla każdego \(\displaystyle{ a = \left( a_1, \dots, a_n\right) \in R:}\)
\(\displaystyle{ x_a = x_{\left(a_1, \dots, a_n \right) } = \frac{a_1}{2} + \cdots + \frac{a_n}{2^n}.}\)
Funkcja \(\displaystyle{ \left( x_a\right)_{a \in R}}\) jest skierowanym zbiorem elementów z przedziału \(\displaystyle{ \left\{ x \in \mathbb{R}: 0 < x < 1\right\}.}\)

Bo co wtedy przypisać owemu ciągowi pustemu?

Zgadza się. Trudno wyczuć, co autorka miała na myśli.

Poza tym w przykładzie jest kolejny błąd, bo przecież możemy mieć ciąg samych zer i wtedy \(\displaystyle{ x_a=0}\), a rozpatrujemy przedział otwarty \(\displaystyle{ (0,1)}\).

JK

[Xardas666]

Faktycznie, tego nawet nie zauważyłem. Gdzieś chyba ktoś w opinii podał, że u niej jest trochę błędów, jak dzisiaj przeglądałem Internet. W każdym razie dziękuję bardzo za odpowiedź. Teoretycznie bardzo proste zagadnienie, ale zdarza się, że w takich prostych się natnę.