Pochodna klasy C1

[Inoxx]

Wskaż zdanie prawdziwe:

Niech \(\displaystyle{ f: \RR^2 \rightarrow \RR}\)

a) Jeżeli \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x},\,\frac{ \partial f}{ \partial y}}\) istnieją i są równe, to \(\displaystyle{ f}\) jest klasy \(\displaystyle{ C^1}\).
b) Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest klasy \(\displaystyle{ C^1}\), to istnieje \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}}\) i jest ciągła.
c) Jeżeli \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y}}\) istnieje i jest ciągłą, to \(\displaystyle{ f}\) jest klasy \(\displaystyle{ C^1}\).
d) Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest klasy \(\displaystyle{ C^1}\), to istnieje\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y}}\) i jest ciągła.
e) Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest klasy \(\displaystyle{ C^1}\), to istnieje \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}}\) .

Z definicja klasa \(\displaystyle{ C^1}\) oznacza, że ma pochodne cząstkowe i są one ciągle. Więc d) i b) na pewno są prawdziwe, ale czy to również oznacza, że c) jest również prawdziwe? a) raczej nie, bo nie ma nic o równości, ale czy w klasie \(\displaystyle{ C^1}\) może być pochodna, która nie jest ciągla? Jeżeli tak to e) jest również prawdziwe.

[jutrvy]

Prawdziwe są: b), d), e)

[PoweredDragon]

W e) nie masz nic o ciągłości. Jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest klasy \(\displaystyle{ C^1}\) to istnieje pochodna, która jest ciągła, ale przede wszystkim pochodna istnieje