Układ fundamentalny równania różniczkowego

[Zuza0612]

Sprawdź czy podane funkcje tworzą w zadanym przedziale układ fundamentalny wskazanego równania różniczkowego.

a) \(\displaystyle{ y_1 = e^x}\)
\(\displaystyle{ y_2 = e^{-2t}}\)
\(\displaystyle{ R}\) - rzeczywiste
\(\displaystyle{ y'' + y' - 2y = 0}\)

Nie byłam na wykładzie. Nic z tego nie wiem. Także każda pomoc jest na wagę złota.

[szw1710]

Masz sprawdzić, że obie funkcje spełniają równanie oraz ich wyznacznik Wrońskiego nie znika.

[Zuza0612]

Wyznacznik Wrońskiego?

\(\displaystyle{ y = e^x}\)
\(\displaystyle{ y' = e^x}\)
\(\displaystyle{ y'' = e^x}\)

\(\displaystyle{ e^x+e^x-2e^x=0}\)
\(\displaystyle{ 2e^x-2e^x=0}\)
spełnia

\(\displaystyle{ y = e^{-2t}}\)
\(\displaystyle{ y' = -2te^{-2t} \cdot (-2t)' = -2te^{-2t} \cdot (-2) = 4te^{-2t}}\)
\(\displaystyle{ y'' = (4te^{-2t})'=4te^{-2t}\cdot (-2t)'=-8te^{-2t}}\)
\(\displaystyle{ -8te^{-2t}+4te^{-2t}-2te^{-2t}=0}\)
nie spełnia

nie tworzą?

[szw1710]

Coś kiepsko różniczkujesz.

Wyznacznik Wrońskiego?

Inaczej wrońskian, choć nie znoszę tej nazwy.

[Zuza0612]

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
e^x & e^{(-2t)}\\
e^x & -2t^{(-2t)}
\end{vmatrix}}\)

To całe równa się \(\displaystyle{ W(x)}\) - nie wiem jak tu napisać macierz. Napisałam średnik, bo nie mam pojęcia jak zrobić by nie były tak blisko siebie.

\(\displaystyle{ =e^x \cdot (-2t^{(-2t)}) - e^x \cdot e^{(-2t)} = -3e^{(-2t+x)} \neq 0}\)

Funkcje tworzą układ fundamentalny.

Koleżanka tak zrobiła... ?

[szw1710]

Ty nie patrz na koleżanki. Tak nie uprawia się matematyki. Ponadto mieszasz argumenty: \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ t}\). Co w końcu jest argumentem? Obie wskazane funkcje tworzą układ fundamentalny. Pierwszą sprawdziłaś poprawnie. Drugą - źle, więc popraw. No i policz wyznacznik Wrońskiego. Co ciekawe, pominąwszy mieszanie argumentów, wyznacznik Wrońskiego napisałaś poprawnie.

[Zuza0612]

\(\displaystyle{ y = e^{-2t} \\
y' = -2e^{-2t} \\
y'' = 4e^{-2t}}\)

\(\displaystyle{ 4e^{-2t}-2e^{-2t}-2e^{-2t}=0}\)
też spełnia

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
e^x & e^{(-2t)}\\
e^x & -2e^{(-2t)}
\end{vmatrix}}\)

\(\displaystyle{ = -3e^{(-2t+x)} \neq 0}\)

Podane fun. tworzą w danym przedziale ukł. fundamentalny

-- 21 lut 2018, o 23:17 --

Teraz jest ok?

[Jan Kraszewski]

A to przeczytałaś?

Ponadto mieszasz argumenty: \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ t}\). Co w końcu jest argumentem?

JK

[Zuza0612]

Tak. Poprawiłam też pochodną, bo podejrzewam, że to tam był błąd: \(\displaystyle{ t}\) zamiast \(\displaystyle{ e}\) miałam.

[Jan Kraszewski]

Nie bardzo wiem, co zrobiłaś, bo dalej masz jedną funkcję ze zmienną niezależną \(\displaystyle{ x}\), a drugą ze zmienną niezależną \(\displaystyle{ t}\).

Napisz jeszcze raz to rozwiązanie, zaczynając od poprawnego sformułowania treści zadania, bo błąd ze zmiennymi jest już tam.

JK

[Zuza0612]

Ale taka była treść zadania, ja tego nie wymyślałam.

I w sumie to nie wiem jak to inaczej trzeba zrobić, byłam pewna, że moja odpowiedź (21 lut 2018, o 22:59) była już na 100%.

-- 22 lut 2018, o 06:53 --

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} e^x & e^{(-2t)}\\ e^x & -2t^{(-2t)} \end{vmatrix}}\) - to miałam na początku

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} e^x & e^{(-2t)}\\ e^x & -2e^{(-2t)} \end{vmatrix}}\) - na to zmiaeniłam-- 22 lut 2018, o 10:25 --Nauczyciel się pomylił w treści zadania. Jest bez \(\displaystyle{ t}\).

Dziękuję bardzo za pomoc.