Dwa równania różniczkowe

[Zuza0612]

c) \(\displaystyle{ yy''-(y')^2 = 3y^2 y'}\)

\(\displaystyle{ y'= u(y)}\)

\(\displaystyle{ y''=u' \cdot u}\)

\(\displaystyle{ y(u' \cdot u)-u ^{2} = 3y^2 u / : u}\)

\(\displaystyle{ yu'-u=3y^2 /:y}\)

\(\displaystyle{ u'-{\frac{u}{y}}=3y}\)

\(\displaystyle{ u'={\frac{u}{y}}+3y}\)

Zawsze zatrzymuję się w tym miejscu i nie wiem co dalej...
c) \(\displaystyle{ x^2 y'' - (y')^2 = 0}\)

\(\displaystyle{ y'= u(y)}\)

\(\displaystyle{ y''=u' \cdot u}\)

\(\displaystyle{ x^2(u' \cdot u) - u^2 = 0}\)

\(\displaystyle{ x^2u' \cdot u = u^2 / :u}\)

\(\displaystyle{ x^2u' = u /:x^2}\)

\(\displaystyle{ u' = {\frac{u}{x^2}}\)

[Premislav]

\(\displaystyle{ yy''-(y')^2 = 3y^2 y'}\)
Jeśli \(\displaystyle{ y}\) jest tożsamościowo równa zeru, to spełnia równanie, w przeciwnym razie dzielimy równanie stronami przez \(\displaystyle{ y^2}\) i mamy:
\(\displaystyle{ \frac{yy''-(y')^2}{y^2}=3y'\\\left( \frac{y'}{y}\right)'=\left( 3y\right)'\\ \frac{y'}{y}=3y+C\\ y'=3y^2+Cy\\ \frac{y'}{3y^2+Cy}=1\\ \int_{}^{} \frac{\,\dd y}{3y^2+Cy}= \int_{}^{} \,\dd x}\)
i po lewej rozkład na ułamki proste.-- 21 lut 2018, o 21:33 --A ten drugi przykład coś Ci nie idzie, w dodatku już raz zwracałem w innym wątku uwagę, że źle liczysz i nie poprawiłaś się.
\(\displaystyle{ x^2 y'' - (y')^2 = 0}\)
Podstawiam \(\displaystyle{ u=y'}\), co daje:
\(\displaystyle{ x^2 u'-u^2=0\\ x^2u'=u^2\\ \int_{}^{} \frac{\,\dd u}{u^2}= \int_{}^{} \frac{\,\dd x}{x^2}\\\frac{1}{u}=\frac{1}{x}+C\\ u=\frac{1}{\frac 1 x+C}\\ y'= \frac{x}{Cx+1}\\ \int_{}^{} \,\dd y= \int_{}^{} \frac{x}{Cx+1}\,\dd x\\ \ldots}\)

[Zuza0612]

Jeśli chodzi o:
\(\displaystyle{ y'= u(y)}\)
\(\displaystyle{ y''=u' \cdot u}\)

to facet na ćwiczeniach powiedział, że to wszystkich zadań z listy (którą nam dał) będzie to samo podstawienie, więc nie brałam pod uwagę innego. A pierwsze 2 przykłady robiliśmy na zajęciach.

[Premislav]

Jeśli chodzi o:
\(\displaystyle{ y'= u(y)\\
y''=u' \cdot u}\)

…
to jest to bzdura (źle zróżniczkowane), którą już drugi raz wytknąłem, nie interesuje mnie, co powiedział facet na ćwiczeniach (może go źle zrozumiałaś), to jest niepoprawne, pokazałem powyżej, jak to można rozwiązywać. Więcej nie powtórzę.