Układ fundamentalny równania różniczkowego
-
- Użytkownik
- Posty: 81
- Rejestracja: 27 sty 2017, o 17:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 9 razy
Układ fundamentalny równania różniczkowego
Sprawdź czy podane funkcje tworzą w zadanym przedziale układ fundamentalny wskazanego równania różniczkowego.
a) \(\displaystyle{ y_1 = e^x}\)
\(\displaystyle{ y_2 = e^{-2t}}\)
\(\displaystyle{ R}\) - rzeczywiste
\(\displaystyle{ y'' + y' - 2y = 0}\)
Nie byłam na wykładzie. Nic z tego nie wiem. Także każda pomoc jest na wagę złota.
a) \(\displaystyle{ y_1 = e^x}\)
\(\displaystyle{ y_2 = e^{-2t}}\)
\(\displaystyle{ R}\) - rzeczywiste
\(\displaystyle{ y'' + y' - 2y = 0}\)
Nie byłam na wykładzie. Nic z tego nie wiem. Także każda pomoc jest na wagę złota.
Re: Układ fundamentalny równania różniczkowego
Masz sprawdzić, że obie funkcje spełniają równanie oraz ich wyznacznik Wrońskiego nie znika.
-
- Użytkownik
- Posty: 81
- Rejestracja: 27 sty 2017, o 17:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 9 razy
Re: Układ fundamentalny równania różniczkowego
Wyznacznik Wrońskiego?
\(\displaystyle{ y = e^x}\)
\(\displaystyle{ y' = e^x}\)
\(\displaystyle{ y'' = e^x}\)
\(\displaystyle{ e^x+e^x-2e^x=0}\)
\(\displaystyle{ 2e^x-2e^x=0}\)
spełnia
\(\displaystyle{ y = e^{-2t}}\)
\(\displaystyle{ y' = -2te^{-2t} \cdot (-2t)' = -2te^{-2t} \cdot (-2) = 4te^{-2t}}\)
\(\displaystyle{ y'' = (4te^{-2t})'=4te^{-2t}\cdot (-2t)'=-8te^{-2t}}\)
\(\displaystyle{ -8te^{-2t}+4te^{-2t}-2te^{-2t}=0}\)
nie spełnia
nie tworzą?
\(\displaystyle{ y = e^x}\)
\(\displaystyle{ y' = e^x}\)
\(\displaystyle{ y'' = e^x}\)
\(\displaystyle{ e^x+e^x-2e^x=0}\)
\(\displaystyle{ 2e^x-2e^x=0}\)
spełnia
\(\displaystyle{ y = e^{-2t}}\)
\(\displaystyle{ y' = -2te^{-2t} \cdot (-2t)' = -2te^{-2t} \cdot (-2) = 4te^{-2t}}\)
\(\displaystyle{ y'' = (4te^{-2t})'=4te^{-2t}\cdot (-2t)'=-8te^{-2t}}\)
\(\displaystyle{ -8te^{-2t}+4te^{-2t}-2te^{-2t}=0}\)
nie spełnia
nie tworzą?
Re: Układ fundamentalny równania różniczkowego
Coś kiepsko różniczkujesz.
Inaczej wrońskian, choć nie znoszę tej nazwy.Wyznacznik Wrońskiego?
-
- Użytkownik
- Posty: 81
- Rejestracja: 27 sty 2017, o 17:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 9 razy
Re: Układ fundamentalny równania różniczkowego
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
e^x & e^{(-2t)}\\
e^x & -2t^{(-2t)}
\end{vmatrix}}\)
To całe równa się \(\displaystyle{ W(x)}\) - nie wiem jak tu napisać macierz. Napisałam średnik, bo nie mam pojęcia jak zrobić by nie były tak blisko siebie.
\(\displaystyle{ =e^x \cdot (-2t^{(-2t)}) - e^x \cdot e^{(-2t)} = -3e^{(-2t+x)} \neq 0}\)
Funkcje tworzą układ fundamentalny.
Koleżanka tak zrobiła... ?
e^x & e^{(-2t)}\\
e^x & -2t^{(-2t)}
\end{vmatrix}}\)
To całe równa się \(\displaystyle{ W(x)}\) - nie wiem jak tu napisać macierz. Napisałam średnik, bo nie mam pojęcia jak zrobić by nie były tak blisko siebie.
\(\displaystyle{ =e^x \cdot (-2t^{(-2t)}) - e^x \cdot e^{(-2t)} = -3e^{(-2t+x)} \neq 0}\)
Funkcje tworzą układ fundamentalny.
Koleżanka tak zrobiła... ?
Ostatnio zmieniony 21 lut 2018, o 22:22 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
Re: Układ fundamentalny równania różniczkowego
Ty nie patrz na koleżanki. Tak nie uprawia się matematyki. Ponadto mieszasz argumenty: \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ t}\). Co w końcu jest argumentem? Obie wskazane funkcje tworzą układ fundamentalny. Pierwszą sprawdziłaś poprawnie. Drugą - źle, więc popraw. No i policz wyznacznik Wrońskiego. Co ciekawe, pominąwszy mieszanie argumentów, wyznacznik Wrońskiego napisałaś poprawnie.
-
- Użytkownik
- Posty: 81
- Rejestracja: 27 sty 2017, o 17:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 9 razy
Re: Układ fundamentalny równania różniczkowego
\(\displaystyle{ y = e^{-2t} \\
y' = -2e^{-2t} \\
y'' = 4e^{-2t}}\)
\(\displaystyle{ 4e^{-2t}-2e^{-2t}-2e^{-2t}=0}\)
też spełnia
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
e^x & e^{(-2t)}\\
e^x & -2e^{(-2t)}
\end{vmatrix}}\)
\(\displaystyle{ = -3e^{(-2t+x)} \neq 0}\)
Podane fun. tworzą w danym przedziale ukł. fundamentalny
-- 21 lut 2018, o 23:17 --
Teraz jest ok?
y' = -2e^{-2t} \\
y'' = 4e^{-2t}}\)
\(\displaystyle{ 4e^{-2t}-2e^{-2t}-2e^{-2t}=0}\)
też spełnia
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
e^x & e^{(-2t)}\\
e^x & -2e^{(-2t)}
\end{vmatrix}}\)
\(\displaystyle{ = -3e^{(-2t+x)} \neq 0}\)
Podane fun. tworzą w danym przedziale ukł. fundamentalny
-- 21 lut 2018, o 23:17 --
Teraz jest ok?
Ostatnio zmieniony 21 lut 2018, o 22:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a: \begin{vmatrix}, \end{vmatrix}.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a: \begin{vmatrix}, \end{vmatrix}.
-
- Administrator
- Posty: 34295
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Układ fundamentalny równania różniczkowego
A to przeczytałaś?
JKszw1710 pisze:Ponadto mieszasz argumenty: \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ t}\). Co w końcu jest argumentem?
-
- Użytkownik
- Posty: 81
- Rejestracja: 27 sty 2017, o 17:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 9 razy
Re: Układ fundamentalny równania różniczkowego
Tak. Poprawiłam też pochodną, bo podejrzewam, że to tam był błąd: \(\displaystyle{ t}\) zamiast \(\displaystyle{ e}\) miałam.
Ostatnio zmieniony 21 lut 2018, o 23:48 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
-
- Administrator
- Posty: 34295
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Układ fundamentalny równania różniczkowego
Nie bardzo wiem, co zrobiłaś, bo dalej masz jedną funkcję ze zmienną niezależną \(\displaystyle{ x}\), a drugą ze zmienną niezależną \(\displaystyle{ t}\).
Napisz jeszcze raz to rozwiązanie, zaczynając od poprawnego sformułowania treści zadania, bo błąd ze zmiennymi jest już tam.
JK
Napisz jeszcze raz to rozwiązanie, zaczynając od poprawnego sformułowania treści zadania, bo błąd ze zmiennymi jest już tam.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 81
- Rejestracja: 27 sty 2017, o 17:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 9 razy
Re: Układ fundamentalny równania różniczkowego
Ale taka była treść zadania, ja tego nie wymyślałam.
I w sumie to nie wiem jak to inaczej trzeba zrobić, byłam pewna, że moja odpowiedź (21 lut 2018, o 22:59) była już na 100%.
-- 22 lut 2018, o 06:53 --
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} e^x & e^{(-2t)}\\ e^x & -2t^{(-2t)} \end{vmatrix}}\) - to miałam na początku
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} e^x & e^{(-2t)}\\ e^x & -2e^{(-2t)} \end{vmatrix}}\) - na to zmiaeniłam-- 22 lut 2018, o 10:25 --Nauczyciel się pomylił w treści zadania. Jest bez \(\displaystyle{ t}\).
Dziękuję bardzo za pomoc.
I w sumie to nie wiem jak to inaczej trzeba zrobić, byłam pewna, że moja odpowiedź (21 lut 2018, o 22:59) była już na 100%.
-- 22 lut 2018, o 06:53 --
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} e^x & e^{(-2t)}\\ e^x & -2t^{(-2t)} \end{vmatrix}}\) - to miałam na początku
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} e^x & e^{(-2t)}\\ e^x & -2e^{(-2t)} \end{vmatrix}}\) - na to zmiaeniłam-- 22 lut 2018, o 10:25 --Nauczyciel się pomylił w treści zadania. Jest bez \(\displaystyle{ t}\).
Dziękuję bardzo za pomoc.