Muszę rozwiązać poniższe równania, trochę już zaczęłam, ale niestety nie wiem jak je skończyć. Nie wiem także czy dobrze zaczęłam.
a) \(\displaystyle{ y''=(y')^2 \cdot \ln y}\)
\(\displaystyle{ y'(x)=u(y)}\)
\(\displaystyle{ y''=u' \cdot u}\)
\(\displaystyle{ u'u=u^2 \ln y /:u}\)
\(\displaystyle{ u'=u \ln y}\)
Niestety nie wiem co dalej.
b) \(\displaystyle{ 2yy''= (y') ^{2} - 1}\)
\(\displaystyle{ y'= u(y)}\)
\(\displaystyle{ y''= u' \cdot u}\)
\(\displaystyle{ 2y(u' \cdot u)=u ^{2} - 1}\)
\(\displaystyle{ 2yu' \cdot u=u ^{2} - 1 /:2y}\)
\(\displaystyle{ u' \cdot u={\frac{u ^{2} - 1}{2y}} /:u ^{2} - 1}\)
\(\displaystyle{ {\frac{u' \cdot u}{u ^{2} - 1}={\frac{u ^{2} - 1}{2y} \cdot {\frac{1}{u ^{2} - 1}}\)
\(\displaystyle{ {\frac{u' \cdot u}{u ^{2} - 1}={\frac{1}{2y}}\)
Niestety nie wiem co dalej.
Z góry dziękuję za każdą pomoc.
Rozwiąż równania różniczkowe
-
- Użytkownik
- Posty: 81
- Rejestracja: 27 sty 2017, o 17:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 9 razy
Rozwiąż równania różniczkowe
Ostatnio zmieniony 21 lut 2018, o 20:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Rozwiąż równania różniczkowe
a)
\(\displaystyle{ y''=(y')^2 \cdot \ln y}\)
Łatwo widać, że dowolna funkcja stała dodatnia spełnia to równanie, a dalej zakładamy, że \(\displaystyle{ y}\) nie jest stała, dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ y'}\), całkujemy stronami i mamy:
\(\displaystyle{ \ln |y'|=y\ln y-y\\ y'=\pm\left( e^{-1}y\right)^y}\)
i już chyba łatwo to dokończyć.-- 21 lut 2018, o 19:40 --Jeszcze stałą zgubiłem, powinno jednak być tak:
\(\displaystyle{ y'=C\left( e^{-1}y\right)^y}\),
gdzie \(\displaystyle{ C}\) to dowolna stała.
\(\displaystyle{ y''=(y')^2 \cdot \ln y}\)
Łatwo widać, że dowolna funkcja stała dodatnia spełnia to równanie, a dalej zakładamy, że \(\displaystyle{ y}\) nie jest stała, dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ y'}\), całkujemy stronami i mamy:
\(\displaystyle{ \ln |y'|=y\ln y-y\\ y'=\pm\left( e^{-1}y\right)^y}\)
i już chyba łatwo to dokończyć.-- 21 lut 2018, o 19:40 --Jeszcze stałą zgubiłem, powinno jednak być tak:
\(\displaystyle{ y'=C\left( e^{-1}y\right)^y}\),
gdzie \(\displaystyle{ C}\) to dowolna stała.
-
- Użytkownik
- Posty: 81
- Rejestracja: 27 sty 2017, o 17:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 9 razy
Rozwiąż równania różniczkowe
\(\displaystyle{ y'=C(e^{-1} y)^y / \int}\)
\(\displaystyle{ y={\frac{C}{e}\int y^y}dy}\)
Głupoty zapewne pisze , ale nie mam innego pomysłu jak to liczyć...
\(\displaystyle{ y={\frac{C}{e}\int y^y}dy}\)
Głupoty zapewne pisze , ale nie mam innego pomysłu jak to liczyć...