Nierówność wymierna

[Mikaelow]

Witam, ostatnio natrafiłem na temat "nierówności wymierne", w której nie znam odpowiedzi na nurtujące mnie pytanie. Dlaczego nie mogę rozwiązać zadania w ten sposób:


\(\displaystyle{ \frac{3}{x}<-1}\)

\(\displaystyle{ \frac{3}{x}+1<0}\)

\(\displaystyle{ \frac{3+x}{x}<0/ \cdot x}\)

\(\displaystyle{ x<-3}\)

Z góry dzięki.

[kmarciniak1]

Bo nie wiesz jaki jest znak \(\displaystyle{ x}\) .

[Mikaelow]

No, a to że \(\displaystyle{ D = \RR \setminus \left\{ 0\right\}}\) nie wystarcza?

[kmarciniak1]

Nie, bo takie mnożenie ma sens tylko dla dodatnich \(\displaystyle{ x}\), a skoro w dziedzinie są też liczby ujemne to wychodzi Ci głupota.

[Mikaelow]

To w takim razie jak takie zadania rozwiązywać?

[kmarciniak1]

Do momentu sprowadzenia do wspólnego mianownika masz dobrze.
Teraz zamiast dzielić przez niewiadomą wystarczy spostrzeżenie, że skoro iloraz jest ujemny to iloczyn też taki jest a więc równoważnie zapisujemy \(\displaystyle{ x(3+x)<0}\)
A to już standardowa nierówność kwadratowa.

[Mikaelow]

No ok, ale np.
\(\displaystyle{ \frac{5}{10}>0}\)

\(\displaystyle{ 5 \cdot 10>0}\)

Nie ma sensu.

[PoweredDragon]

A to nie prawda, że \(\displaystyle{ 5 \cdot 10 > 0}\) ? Udowadnianie nierówności bez niewiadomych nie ma sensu.

A nierówność \(\displaystyle{ \frac{2}{x} > 0}\) to nie to samo co \(\displaystyle{ 2 > 0}\) , bo przecież \(\displaystyle{ x}\) może być ujemne...

[Mikaelow]

No jest to prawda, myślałem że wartości muszą być zachowane.

[Rafsaf]

Przy nierównościach nie można tak pomnożyć przez \(\displaystyle{ x}\) z przyczyn wymienionych wyżej (nie znasz znaku).

Za to zawsze możesz obustronnie walić mnożąc przez \(\displaystyle{ x ^{2}}\) .
To w pełni dozwolone, mnożysz przez liczbę nieujemną.

[Dilectus]

W nierównościach wymiernych żeby się pozbyć mianownika, mnożysz obie strony przez jego kwadrat. I to jest fundamentem wiedzy o rozwiązywaniu nierówności wymiernych.

[michcior]

Przy nierównościach gdzie po jednej stronie jest zero, a to się da zrobić zawsze, można zastanawiać się nad znakiem licznika i mianownika, tj. rozpatrywać różne przypadki. Ułamek ma być mniejszy od zera więc:
1) Albo licznik jest dodatni, mianownik ujemny
2) Albo na odwrót
Generalnie nie ma jednej metody na rozwiązywanie tych nierówności, ale oczywiście trik wyżej z \(\displaystyle{ x^{2}}\) jest bardzo skuteczny.

[Dilectus]

Mikaelow, poczytaj o nierównościach wymiernych i zapoznaj się z wężykowaniem.

[Mikaelow]

Mikaelow, poczytaj o nierównościach wymiernych i zapoznaj się z wężykowaniem.

A gdzie mogę poczytać o tym "wężykowaniem"?

[PoweredDragon]

Tutaj