Rozwiąż równania różniczkowe

[Zuza0612]

Potrafiłby ktoś pomóc w tych przykładach?

a) \(\displaystyle{ x^2yy''-(y')^2=0}\)

b) \(\displaystyle{ 2y''-(y')^2=0}\)

c) \(\displaystyle{ xy'' = y'\ln {\frac{y'}{x}}}\)

[Premislav]

b) Podstaw \(\displaystyle{ u=y'}\), a łatwo otrzymasz rozwiązanie.

c) Proponuję podstawienie \(\displaystyle{ ux=y'}\).

[Zuza0612]

\(\displaystyle{ 2y''-(y')^2=0}\)
\(\displaystyle{ y'= u(y)}\)
\(\displaystyle{ y''= u' \cdot u}\)
\(\displaystyle{ 2 \cdot u' \cdot u-u^2=0}\)
\(\displaystyle{ 2u'u=u^2 / :u}\)
\(\displaystyle{ 2u'=u / \int}\)
\(\displaystyle{ 2 \int dy=\int u du}\)
\(\displaystyle{ 2y = {\frac{u^2}{2}} + C}\)

[Premislav]

Źle policzone \(\displaystyle{ y''}\).

[Zuza0612]

\(\displaystyle{ y'' = u \cdot {\frac{du}{dy}}}\)
\(\displaystyle{ 2 \cdot u\cdot {\frac{du}{dy}}-u^2 = 0}\)
\(\displaystyle{ {\frac{2u du}{dy}} = u^2 /\cdot dy}\)
\(\displaystyle{ 2u du = u^2 dy / \int}\)
\(\displaystyle{ 2 \int du = \int u^2 dy}\)

[kerajs]

a) \(\displaystyle{ x^2yy''-(y')^2=0}\)

Ukryta treść:    

Podstawienie
\(\displaystyle{ y'=yt \\
y''=y't+yt' \Rightarrow y''=y(t^2+t')}\)
daje równanie:
\(\displaystyle{ x^2yy(t^2+t')-(yt)^2=0\\
t'=t^2( \frac{1}{x^2}-1 )\\
\int_{}^{} \frac{1}{t^2} \mbox{d}t= \int_{}^{} (\frac{1}{x^2}-1) \mbox{d}x}\)
wylicz t i wróć do podstawienia:
\(\displaystyle{ y'=yt}\)
które jest równaniem o zmiennych rozdzielonych.