Wzory skróconego mnożenia

[karolcia_23]

Witam, mam problem z następującym zadaniem. Utknęłam w miejscu i nie wiem czy idę w dobrym kierunku.
Zadanie: Za pomocą wzoru \(\displaystyle{ (a-b)(a+b)=a^2-b^2}\), znaleźć \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R}}\) gdzie wiemy, że \(\displaystyle{ a+b=-6}\) oraz \(\displaystyle{ ab=8}\).
Zaczęłam rozwiązywać
\(\displaystyle{ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \\
-6(a-b)=a^2-b^2 \\
a^2+6a=b^2+6b \\
a(a+6)=b(b+6)}\)

Z góry dziękuje za pomoc

[szw1710]

Koniecznie wg tego wzoru?

Proponuję tak: mamy \(\displaystyle{ (x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab=x^2+6x+8=(x+4)(x+2),}\) więc \(\displaystyle{ a=-4,b=-2}\) lub symetrycznie \(\displaystyle{ a=-2,b=-4.}\)

Inaczej można zwyczajnie wyliczyć \(\displaystyle{ b=-6-a}\) i wstawić do drugiego równania - dostaniemy to samo.

[karolcia_23]

niestety koniecznie, korzystając ze wzoru :/

[Rafsaf]

Nie rozumiem tego zadania, przecież i tak to trzeba teraz podstawić "niby wyprowadzając" z tego wzoru skróconego mnożenia.

Możesz też dalej brnąć w swoim rozwiązaniu, np. w lewej stronie Twojego ostatniego równania podstaw(kolejny raz) za \(\displaystyle{ 6}\) to co masz z pierwszego równania i lewa jest równa \(\displaystyle{ -ab=-8}\)
i \(\displaystyle{ b(b+6)=-8}\)

Ale czym to się różni od zwykłego pałowego wyliczenia \(\displaystyle{ a}\) z pierwszego równania i wstawienia do drugiego, to naprawdę nie mam pojęcia

[szw1710]

Takie zadania pozbawiają matematykę piękna i bardziej mogą zniechęcić niż zachęcić do poszukiwań. Jeżeli po sekundzie zastanowienia widać, jak można zadanie rozwiązać, to po co komplikować. Zawsze byłem zdania, że zadanie rozwiązuje się dowolną metodą, byle poprawną.

[janusz47]

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4ab = (a+b)^2 - (a- b)^2 \\ a + b = -6 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 32 = 36 - (a- b)^2 \\ a+b = - 6 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}(a - b )^2 = 4 \\ a+b =-6\end{cases},}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a - b = -2 \vee a -b = 2 \\ a +b = -6\end{cases}}\)

.........................................

Popieram stanowisko szw1710.

[szw1710]

No właśnie - zrobiłem dokładnie tak samo jak powyżej i mi się nie spodobało bo i tak mamy do rozwiązania układ równań. A inny można dostać natychmiast.