Wyznacz ekstremale funkcjonału.

[fluffiq]

Z racji że jestem bardzo zielony w liczeniu funkcjonałów - na zajęciach słabo a nawet wgl nie zostało to wytłumaczone a przykłady są jakieś potężne liczę na wasza pomoc.

\(\displaystyle{ F\left( u\right) = \int_{0}^{1} u'^{2} \mbox{d}x , u\left( 0\right) = 0 , u\left( 1\right) = \frac{1}{4}, \int_{0}^{1}(u- u'^{2}) \mbox{d}x = \frac{1}{12}}\)

[NogaWeza]

Równania Eulera-Lagrange -> rozwiązanie pewnego równania różniczkowego -> wstawienie warunków. Tylko tyle potrzeba

[fluffiq]

Równania Eulera-Lagrange -> rozwiązanie pewnego równania różniczkowego -> wstawienie warunków. Tylko tyle potrzeba

A mógłbym prosić o chociaż początek rozwiązania?

[NogaWeza]

Jasne.

Mamy funkcjonał \(\displaystyle{ F(u) = \int_{x_0}^{x_1} L(x, u, u') \dd x}\) z warunkami brzegowymi \(\displaystyle{ u(x_0)}\) i \(\displaystyle{ u(x_1)}\). Funkcja, która minimalizuje czy tam maksymalizuje ten funkcjonał jest dana równaniem różniczkowym:
\(\displaystyle{ \frac{\dd}{\dd x} \left( \frac{ \partial L}{ \partial u'} \right) - \frac{ \partial L}{ \partial u} = 0}\)

W tym przypadku \(\displaystyle{ L = \left( u' \right)^2}\), mamy zatem
\(\displaystyle{ \frac{\dd}{\dd x} 2u' = 0}\), czyli \(\displaystyle{ 2u'' = 0}\).

Tylko, że jak tak teraz patrzę, to dochodzi jeszcze warunek \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(u- u'^{2}) \mbox{d}x = \frac{1}{12}}\), z którym nie wiem co zrobić. Ja pokazałem, jak rozwiązać klasyczny problem, natomiast nie wiem jak uwzględnić to ograniczenia. Może ktoś inny będzie wiedział.