\(\displaystyle{ 4x^{2}y'' + 8y' + y = 0}\)
Ktoś ma pomysł jak to ruszyć?
Rozwiąż równanie
-
- Użytkownik
- Posty: 124
- Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
Rozwiąż równanie
Ostatnio zmieniony 15 lut 2018, o 22:58 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie pisz symbolu pochodnej w indeksie górnym.
Powód: Nie pisz symbolu pochodnej w indeksie górnym.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Rozwiąż równanie
Ja nie pamiętam, jak się rozwiązuje coś takiego, ale przewidziałbym rozwiązanie w postaci szeregu potęgowego.
Niech \(\displaystyle{ y(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \ x^n}\). Różniczkując wyraz po wyrazie, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ y''(x)= \sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}\\ y'(x)= \sum_{n=1}^{+\infty}na_nx^{n-1}}\)
i po wstawieniu tego do równania otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 4 \sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n x^n+8 \sum_{n=1}^{+\infty}na_n x^{n-1}+ \sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n =0}\)
Stąd mamy: \(\displaystyle{ 8a_1+a_0=0, \ 16a_2+a_1=0}\) oraz
\(\displaystyle{ 4n(n-1)a_n+8(n+1)a_{n+1}+a_n=0}\) dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\), a z tego ostatniego:
\(\displaystyle{ a_{n+1}=- \frac{(2n-1)^2}{8(n+1)} a_n}\)
O ile się nie rąbnąłem w rachunkach, stąd można wyznaczyć \(\displaystyle{ a_n}\) w zależności od \(\displaystyle{ a_0}\), ale po pierwsze te współczynniki na pierwszy rzut oka niczego nie przypominają (w sensie rozwinięcia jakiejś sensownej funkcji w szereg Maclaurina), zaś po drugie to tylko rozwiązanie szczególne. Przestrzeń rozwiązań jest tu dwuwymiarowa, a to przewidywanie daje tylko jeden wymiar (chyba że się rąbnąłem w różniczkowaniu).
Niech \(\displaystyle{ y(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \ x^n}\). Różniczkując wyraz po wyrazie, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ y''(x)= \sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}\\ y'(x)= \sum_{n=1}^{+\infty}na_nx^{n-1}}\)
i po wstawieniu tego do równania otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 4 \sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n x^n+8 \sum_{n=1}^{+\infty}na_n x^{n-1}+ \sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n =0}\)
Stąd mamy: \(\displaystyle{ 8a_1+a_0=0, \ 16a_2+a_1=0}\) oraz
\(\displaystyle{ 4n(n-1)a_n+8(n+1)a_{n+1}+a_n=0}\) dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\), a z tego ostatniego:
\(\displaystyle{ a_{n+1}=- \frac{(2n-1)^2}{8(n+1)} a_n}\)
O ile się nie rąbnąłem w rachunkach, stąd można wyznaczyć \(\displaystyle{ a_n}\) w zależności od \(\displaystyle{ a_0}\), ale po pierwsze te współczynniki na pierwszy rzut oka niczego nie przypominają (w sensie rozwinięcia jakiejś sensownej funkcji w szereg Maclaurina), zaś po drugie to tylko rozwiązanie szczególne. Przestrzeń rozwiązań jest tu dwuwymiarowa, a to przewidywanie daje tylko jeden wymiar (chyba że się rąbnąłem w różniczkowaniu).
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Rozwiąż równanie
Ta metoda jest dobra dla równań o stałych współczynnikach, ponieważ pozwala sprowadzić problem rozwiązania równania różniczkowego do rozwiązania równania algebraicznego. Tutaj to podejście nie zadziała, gdyż przeszkadza to \(\displaystyle{ 4x^2}\).
Teraz patrzę, że wolfram tego nie rozwiązuje, więc pewnie ja tym bardziej nie zwinąłbym sensownie tego szeregu. Pozostają pewnie metody numeryczne.
Teraz patrzę, że wolfram tego nie rozwiązuje, więc pewnie ja tym bardziej nie zwinąłbym sensownie tego szeregu. Pozostają pewnie metody numeryczne.
-
- Użytkownik
- Posty: 1116
- Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Górnicza Dolina
- Podziękował: 74 razy
- Pomógł: 115 razy
Re: Rozwiąż równanie
Mi pokazał "ładny" wynik.Premislav pisze:Ta metoda jest dobra dla równań o stałych współczynnikach, ponieważ pozwala sprowadzić problem rozwiązania równania różniczkowego do rozwiązania równania algebraicznego. Tutaj to podejście nie zadziała, gdyż przeszkadza to \(\displaystyle{ 4x^2}\).
Teraz patrzę, że wolfram tego nie rozwiązuje, więc pewnie ja tym bardziej nie zwinąłbym sensownie tego szeregu. Pozostają pewnie metody numeryczne.
Kod: Zaznacz cały
https://www.wolframalpha.com/input/?i=4