Równanie różniczkowe opisujące zmianę wysokości

[drax77]

Hej.

Muszę stworzyć równanie różniczkowe (potrzebne do zasymulowania procesu w simulinku) opisujące następujący proces.

Koło porusza się ze stałą prędkościa \(\displaystyle{ V}\) Posiada ono amortyzator, który dla uproszczenia traktujemy jak sprężynę. Równanie ma opisywać wysokość środka koła względem czasu przejazdu. Tak powinien wyglądać wykres :


Póki co stwierdziłem, że mogę zacząć od równania różniczkowego wahadła matematycznego
\(\displaystyle{ \frac{\mathrm{d^2\theta } }{\mathrm{dt^2} x}+\frac{g}{l}\sin({\theta})=0}\)
jednak nie bardzo wiem, jakie kroki poczynić dalej, żeby równanie opisywało podany wyżej proces.

[Mathix]

Patrząc na wykres to może warto rozważyć drgania tłumione? Nie zastanawiałem się jak to rozwiązać, ale takie mam skojarzenie, więc traktuj to jedynie jako możliwą inspirację

[kruszewski]

To wykres dla drgań tłumionych. Zadaj pierwsze wychylenie (amplitudę) i dekrement tłumienia, równanie drgań tłumionych najdziesz w necie.
Jeżeli ma to być ćwiczenie, to zacznij od wychylenia \(\displaystyle{ A_o}\) i ładnej obwiedni zanikającej amplitudy. Stąd będziesz miał tłumienie i nie zadając pytania czym realizowane, potrzebne wielkości występujące w tym ruchu i ich proporcje.
To takie opisywanie przyczyn znając ich skutek.

[siwymech]

Moim zdaniem pomocny problem, opisany w zbiorze zadań z mechaniki- drgania- uresorowany ciężar...
J.Nizioł. Metodyka rozwiązywania zadań z mechaniki. Wyd. PWN. 1980r.

[kruszewski]

Dla ułatwienia czytającym odnalezienia problemu podam, że jest to PRZYKŁAD 11.22 (str.352) przywołanej pozycji.

[siwymech]

Próba opisu ruchu koła porzez pojęcia z ruchu płaskiego.
....................................................
Koło wykonuje ruch płaski, bez poślizgu, który możemy zobrazować jako ruch postępowy z predkością środka masy oraz ruchu obrotowego dookoła osi (\(\displaystyle{ z}\)) przechodzącej przez środek masy-\(\displaystyle{ S( S_{x}, S _{y})}\).

I. Dla ruchu postępowego, obrotowego równania różniczkowe ruchu środka masy mają postać:
\(\displaystyle{ m \cdot \ddot x _{S}=\Sigma F _{x},}\) (1)
\(\displaystyle{ m \cdot \ddot y _{S}=\Sigma F _{y},}\) (2)
\(\displaystyle{ \quad J \cdot \ddot\phi=\quad \Sigma M _{z}}\) (3)
------------------------------------------------------------
Po przyjęciu obciążeń - siły ciężkości koła, tarcia, sprężystości i siły oporu środowiska tłumika wiskotycznego, scałkować ułożone równania, co pozwoli określić położenie ciała poprzez parametry:\(\displaystyle{ x _{S}, y _{S}, \varphi}\)

[kruszewski]

Ten model jest wadliwy. Przy nie określeniu podpory koła, oparcia końców sprężyny, jej wstępnego napięcia ustrojstwo to jest kołem którego jedną szprychą jest sprężyna. Ale wtedy powstaje pytanie: po co sprężyna jeżeli pozostałe szprychy są sztywne?
Można to zadanie przedstawić jako pytanie o ruch masy na którą naciska sprężyna o zadanej charakterystyce jeżeli w czasie \(\displaystyle{ \Delta t}\) podniesiemy masę na wysokość \(\displaystyle{ h}\) i puścimy ją swobodnie w dół. Jeżeli autor chce by drgania wygasały to należy dołożyć tłumik o zadanej, lub obliczonej charakterystyce. Nasuwa się tu pytanie o charakter zetknięcia się masy z podłożem przy użyciu sprężyny wstępnie napiętej.
Dla masy w formie koła czas ruchu w górę można określić z ruchu wzdłuż poziomej drogi.
Proszę zauważyć, że jest to ruch masy po zadziałaniu jednym impulsem siły.

[siwymech]

...Muszę stworzyć równanie różniczkowe (potrzebne do zasymulowania procesu w simulinku) opisujące następujący proces...
----------------------------------------------------
\(\displaystyle{ m \cdot \ddot y =\Sigma F _{y}}\)
----------------------------------------------------
Rozwinięcie równania różniczkowego
\(\displaystyle{ m \cdot \ddot y =-F _{s} -R}\), (1)
Gdzie:
\(\displaystyle{ F _{s}=k \cdot y}\)- siła spężystości proporcjonalna do wychylenia(prawo Hooke'a),
\(\displaystyle{ R=c \cdot v=c \cdot \dot y}\)- siła oporu tłumienia- tłumika olejowego proporcjonalna do małej prędkości ciała drgającego
................................................................................
\(\displaystyle{ m \cdot \ddot y =-k \cdot y - c \dot y}\), (2)
Doprowadzamy równanie (2) do postaci rów. oscylatora -drgania swobodne tłumione- na układ nie działa stała siła wymuszajaca!.
Po wprowadzeniu oznaczeń :
\(\displaystyle{ \omega ^{2} _{o}= \frac{k}{m}}\) - częstość drgań swobodnych nietłumionych,
\(\displaystyle{ 2 \beta = \frac{c}{m}}\)
\(\displaystyle{ \beta}\)- współczynnik tłumienia
Równanie różniczkowe (2) przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ \ddot y +2 \beta \cdot \dot y + \omega ^{2} _{o} \cdot y=0}\), (3)
Równanie drugiego rzędu, jednorodne o stałych współczynnikach
.............................................................