Wykaż, że punkty współliniowe

Biel124 · Post autor: **Biel124** » 14 lut 2018, o 11:02

Nie za bardzo rozumiem tego rozwiązania, mógłby ktoś dać pełny dowód (taki na 6 pkt. na konkursie).

michcior · Post autor: **michcior** » 14 lut 2018, o 13:14

Ja zrozumiałem 'pewien' jako jeden wybrany, tj. że te wszystkie proste mają jeden, konkretny punkt wspólny, przez który się przecinają. Ale rzeczywiście, jeśli pewien oznacza po prostu jakiś inny, który należy do zbioru tych punktów to rozwiązanie jest bez sensu.

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 14 lut 2018, o 14:03

Założenie: Prosta przechodząca przez dowolne dwa punkty spośród \(\displaystyle{ A,B,C,D,E}\) przechodzi również przez trzeci punkt.

Teza: Punkty \(\displaystyle{ A,B,C,D,E}\) są współliniowe.

Dowód nie wprost.

Załóżmy nie wprost, że punkty \(\displaystyle{ A,B,C,D,E}\) nie są współliniowe.. Udowodnimy, że prowadzi to do sprzeczności z założeniem.
Niech punkty \(\displaystyle{ A,B,C}\) leżą na prostej \(\displaystyle{ l}\). Niech punkt \(\displaystyle{ D}\) nie leży na tej prostej. Wówczas prosta \(\displaystyle{ AD}\) przecina prostą \(\displaystyle{ l}\). Zgodnie z założeniem na prostej \(\displaystyle{ AD}\) musi leżeć punkt \(\displaystyle{ E}\). Wtedy jednak proste \(\displaystyle{ BE}\) i \(\displaystyle{ CE}\) nie przechodzą przez trzeci punkt, co jest sprzeczne z założeniem. Doszliśmy do sprzeczności, co dowodzi prawdziwości tezy.
Zrób rysunek.
Edit. Źle przeczytałam treść zadania Myślałam, że chodzi o \(\displaystyle{ 5}\) punktów, a tam jest zbiór \(\displaystyle{ S}\)

Biel124 · Post autor: **Biel124** » 17 lut 2018, o 15:05

To ma ktoś rozwiązanie?

jutrvy · Post autor: **jutrvy** » 21 lut 2018, o 23:28

Jezzu, weź 3 punkty, potem dodaj kolejny, tak, żeby były spełnione założenia. Potem weź \(\displaystyle{ n}\) punktów, które spełniają założenia, a potem dorzuć \(\displaystyle{ n+1}\)-szy tak, żeby założenia dalej zachodziły. To jest proste zadanie Premislav, rozwiązanie proponowane przez arek1357 jest jak najbardziej ok...

Premislav · Post autor: **Premislav** » 22 lut 2018, o 01:35

Nie dowodzi to w żaden sposób (a przynajmniej tego nie widzę), że każdy układ \(\displaystyle{ n+1}\) punktów spełniających warunki zadania może powstać przez dorzucenie punktu do zbioru \(\displaystyle{ n}\) punktów spełniających warunki zadania.
Jeśli się mylę, to wyjaśnijcie, proszę.

Biel124 · Post autor: **Biel124** » 22 lut 2018, o 13:23

Zgadzam się z Premislavem

Matematyka.pl