Proszę o wskazówkę jak powinienem ruszyć to równianie różniczkowe.
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } }{x} + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 0}\)
Równanie różniczkowe pierwszego rzędu
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Równanie różniczkowe pierwszego rzędu
Można inaczej:
po przekształceniu masz:
\(\displaystyle{ (x^2+y^2)dx+ydy=0}\)
\(\displaystyle{ M=x^2+y^2, N=y}\)
\(\displaystyle{ \pfrac{M}{y}=2y,\pfrac{N}{x}=0}\)
Szukamy czynnika całkującego z równania:
\(\displaystyle{ y\pfrac{\ln \mu}{x}-(x^2+y^2)\pfrac{\ln \mu}{y}=2y}\)
Możemy założyć, że czynnik całkujący nie zależy od y czyli równanie się uprości do:
\(\displaystyle{ \pfrac{\ln \mu}{x}=2}\)
po rozwiązaniu otrzymasz:
\(\displaystyle{ \mu=e^{2x}}\)
i początkowe równanie przybierze kształt:
\(\displaystyle{ e^{2x}(x^2+y^2)dx+e^{2x}ydy=0}\)
A teraz:
\(\displaystyle{ M=e^{2x}(x^2+y^2) , N=e^{2x}y}\)
\(\displaystyle{ \pfrac{M}{y}=\pfrac{N}{x}=2ye^{2x}}\)
Można podstawić do wzoru:
\(\displaystyle{ \int Mdx+\int Ndy=C}\)
Obliczyć całki i koniec...
Traktując to jak równanie Bernouliego trzeba by było zapisać w formie:
\(\displaystyle{ y'+y=-x^2y^{-1}}\)
\(\displaystyle{ n=-1}\)
i co dalej?
po przekształceniu masz:
\(\displaystyle{ (x^2+y^2)dx+ydy=0}\)
\(\displaystyle{ M=x^2+y^2, N=y}\)
\(\displaystyle{ \pfrac{M}{y}=2y,\pfrac{N}{x}=0}\)
Szukamy czynnika całkującego z równania:
\(\displaystyle{ y\pfrac{\ln \mu}{x}-(x^2+y^2)\pfrac{\ln \mu}{y}=2y}\)
Możemy założyć, że czynnik całkujący nie zależy od y czyli równanie się uprości do:
\(\displaystyle{ \pfrac{\ln \mu}{x}=2}\)
po rozwiązaniu otrzymasz:
\(\displaystyle{ \mu=e^{2x}}\)
i początkowe równanie przybierze kształt:
\(\displaystyle{ e^{2x}(x^2+y^2)dx+e^{2x}ydy=0}\)
A teraz:
\(\displaystyle{ M=e^{2x}(x^2+y^2) , N=e^{2x}y}\)
\(\displaystyle{ \pfrac{M}{y}=\pfrac{N}{x}=2ye^{2x}}\)
Można podstawić do wzoru:
\(\displaystyle{ \int Mdx+\int Ndy=C}\)
Obliczyć całki i koniec...
Traktując to jak równanie Bernouliego trzeba by było zapisać w formie:
\(\displaystyle{ y'+y=-x^2y^{-1}}\)
\(\displaystyle{ n=-1}\)
i co dalej?
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Równanie różniczkowe pierwszego rzędu
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } }{x} + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 0\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }+y= -\frac{x^2}{y} \\
\mu_{1}\left( x,y\right)=e^{\left( 1-\left( -1\right) \right)\int{ \mbox{d}x } }y^{-\left( -1\right) }\\
\mu_{1}\left( x,y\right)=e^{2x}y\\
\mu\left( x,y\right)=xe^{2x}y\\}\)
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }+y= -\frac{x^2}{y} \\
\mu_{1}\left( x,y\right)=e^{\left( 1-\left( -1\right) \right)\int{ \mbox{d}x } }y^{-\left( -1\right) }\\
\mu_{1}\left( x,y\right)=e^{2x}y\\
\mu\left( x,y\right)=xe^{2x}y\\}\)