uzasadnić , że \(\displaystyle{ (k,a) \in U( \mathbb{Z} _{6}) \times \mathbb{Z}_{6} \rightarrow ka \in \mathbb{Z} _{6}}\) jest poprawnie zdefiniowanym działaniem grupy \(\displaystyle{ U( \mathbb{Z} _{6})\ \text{na} \ \mathbb{Z}_{6}}\).
Wyznaczyć wszystkie stabilizatory i orbity.
poprawność działania
-
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 16 lis 2017, o 17:33
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 8 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: poprawność działania
Co to jest \(\displaystyle{ U(\ZZ_6)}\)? Serio nie wiem. Jak się to wie, to pewnie zadanie jest proste, wystarczy znać definicję działania grupy na zbiorze.
-
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 16 lis 2017, o 17:33
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 8 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: poprawność działania
No to w \(\displaystyle{ \ZZ_6}\) nie mamy zbyt wielu elementów odwracalnych, są to tylko \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 5}\).
Dwa warunki z definicji działania grupy na zbiorze sprawdza się dość automatycznie. Spróbujesz?
Stabilizator elementu \(\displaystyle{ x\in \ZZ_6}\) to będzie zbiór takich \(\displaystyle{ k \in U(\ZZ_6)}\), że
\(\displaystyle{ kx=x}\). Zatem stabilizatorem elementu \(\displaystyle{ 0}\) jest całe \(\displaystyle{ U(\ZZ_6)}\), czyli \(\displaystyle{ \left\{ 1,5\right\}}\), zaś stabilizatorem każdego innego elementu będzie \(\displaystyle{ \left\{ 1\right\}}\) (to trzeba pokazać).
Orbita elementu \(\displaystyle{ x \in \ZZ_6}\) to wobec tak określonego działania grupy \(\displaystyle{ U(\ZZ_6), \ \left\{ kx: k \in U(\ZZ_6)\right\}}\) (oczywiście mnożenie jest modulo \(\displaystyle{ 6}\)). No to po prostu należy to powypisywać.
Dwa warunki z definicji działania grupy na zbiorze sprawdza się dość automatycznie. Spróbujesz?
Stabilizator elementu \(\displaystyle{ x\in \ZZ_6}\) to będzie zbiór takich \(\displaystyle{ k \in U(\ZZ_6)}\), że
\(\displaystyle{ kx=x}\). Zatem stabilizatorem elementu \(\displaystyle{ 0}\) jest całe \(\displaystyle{ U(\ZZ_6)}\), czyli \(\displaystyle{ \left\{ 1,5\right\}}\), zaś stabilizatorem każdego innego elementu będzie \(\displaystyle{ \left\{ 1\right\}}\) (to trzeba pokazać).
Orbita elementu \(\displaystyle{ x \in \ZZ_6}\) to wobec tak określonego działania grupy \(\displaystyle{ U(\ZZ_6), \ \left\{ kx: k \in U(\ZZ_6)\right\}}\) (oczywiście mnożenie jest modulo \(\displaystyle{ 6}\)). No to po prostu należy to powypisywać.
-
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 16 lis 2017, o 17:33
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 8 razy