poprawność działania

[FikiMiki94]

uzasadnić , że \(\displaystyle{ (k,a) \in U( \mathbb{Z} _{6}) \times \mathbb{Z}_{6} \rightarrow ka \in \mathbb{Z} _{6}}\) jest poprawnie zdefiniowanym działaniem grupy \(\displaystyle{ U( \mathbb{Z} _{6})\ \text{na} \ \mathbb{Z}_{6}}\).
Wyznaczyć wszystkie stabilizatory i orbity.

[Premislav]

Co to jest \(\displaystyle{ U(\ZZ_6)}\)? Serio nie wiem. Jak się to wie, to pewnie zadanie jest proste, wystarczy znać definicję działania grupy na zbiorze.

[leg14]

Grupa elementów odwracalnych chyba

[FikiMiki94]

tak , grupa elementów odwracalnych

[Premislav]

No to w \(\displaystyle{ \ZZ_6}\) nie mamy zbyt wielu elementów odwracalnych, są to tylko \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 5}\).
Dwa warunki z definicji działania grupy na zbiorze sprawdza się dość automatycznie. Spróbujesz?

Stabilizator elementu \(\displaystyle{ x\in \ZZ_6}\) to będzie zbiór takich \(\displaystyle{ k \in U(\ZZ_6)}\), że
\(\displaystyle{ kx=x}\). Zatem stabilizatorem elementu \(\displaystyle{ 0}\) jest całe \(\displaystyle{ U(\ZZ_6)}\), czyli \(\displaystyle{ \left\{ 1,5\right\}}\), zaś stabilizatorem każdego innego elementu będzie \(\displaystyle{ \left\{ 1\right\}}\) (to trzeba pokazać).

Orbita elementu \(\displaystyle{ x \in \ZZ_6}\) to wobec tak określonego działania grupy \(\displaystyle{ U(\ZZ_6), \ \left\{ kx: k \in U(\ZZ_6)\right\}}\) (oczywiście mnożenie jest modulo \(\displaystyle{ 6}\)). No to po prostu należy to powypisywać.

[FikiMiki94]

Sprawdziłam sobie te warunki i wyznaczyłam orbity. dzięki za pomoc

[arek1357]

To jest dokładnie to, pewnie ta sama pani zadawała:

https://www.matematyka.pl/429812.htm