Twierdzenie o funkcji uwikłanej

[max123321]

Wykazać, że równania \(\displaystyle{ x^2-y^2-u^3+v^2+4=0}\) oraz \(\displaystyle{ 2xy+y^2-2u^2+3v^4=0}\)
wyznaczają w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ \left( x_0,y_0,u_0,v_0\right)=\left( 2,1,2,1\right)}\) zmienne \(\displaystyle{ u,v}\) jako funkcje klasy \(\displaystyle{ C^{\infty}}\) zmiennych \(\displaystyle{ x,y}\) .

\(\displaystyle{ \left( u,v\right)=f(x,y)}\)

Jak trzeba wyznaczyć pojedynczą funkcję uwikłaną dwóch zmiennych, to wiem jak postępować, ale tu mamy dwie i się gubię. Jakie funkcję powinienem różniczkować?

[teusiek]

Mamy funkcje skalarną \(\displaystyle{ F=(F_{1},F_{2})}\) gdzie \(\displaystyle{ F_{1}(x,y,u,v)=x^2-y^2-u^3+v^2+4}\) oraz \(\displaystyle{ F_{2}(x,y,u,v)=2xy+y^2-2u^2+3v^4}\). Niech \(\displaystyle{ M=\lbrace (x,y,u,v) : F(x,y,u,v)=0\rbrace}\). Pytamy czy w otoczeniu \(\displaystyle{ (2,1,2,1)}\) jest \(\displaystyle{ (u,v) \mapsto (u(x,y),v(x,y))}\)
Trzeba najpierw pokazać, że punkt \(\displaystyle{ \left( x_0,y_0,u_0,v_0\right)=\left( 2,1,2,1\right) \in M}\). To jest proste, wystarczy podstawić do tych równań i ma się zgadzać. Dalej badasz czy różniczka jest nieosobliwa w tym punkcie tzn:
\(\displaystyle{ \det \begin{bmatrix} \frac{\partial F_{1}}{\partial u}(2,1,2,1)&\frac{\partial F_{1}}{\partial v}(2,1,2,1)\\\frac{\partial F_{2}}{\partial u}(2,1,2,1)&\frac{\partial F_{2}}{\partial v}(2,1,2,1)\end{bmatrix}\neq 0}\)
Jeśli tak jest to z twierdzenia o funkcji uwikłanej dostajesz tezę.