Jaki trójkąt prostokątny...

[Argun]

Witam serdecznie. Mam takie drobne pytanie o zadanie:

Jaki trójkąt o obwodzie 20cm ma największą powierzchnie?

Rozwiązałem je w taki sposób, że zauważyłem, że będzie to jak to w optymalizacyjnych bywa połowa kwadratu, czyli trójkąt prostokątny o bokach \(\displaystyle{ a}\),\(\displaystyle{ a}\) i przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\), który wygląda jakoś tak:



Jako że obwód wynosi 20cm, to zrobiłem coś takiego:

\(\displaystyle{ 2a+ a\sqrt{2}=20}\)
\(\displaystyle{ a(2+\sqrt{2})=20}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{20}{2+\sqrt{2}}}\)

Moja odpowiedź brzmiała tak: Trójkątem spełniającym podane założenia jest trójkąt o przyprostokątnych \(\displaystyle{ a}\) i przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ a\sqrt{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ a= \frac{20}{2+\sqrt{2}}}\) i \(\displaystyle{ P=\frac{a^2}{2}}\)

Czy to zadanie wykonałem dobrze?

[florek177]

Jak usuniesz niewymierność w mianowniku, to będzie i dobrze i elegancko.

[Premislav]

Co to znaczy „zauważyłem"? Takie rzeczy trzeba uzasadniać.
Mamy (tw. Pitagorasa) warunek
\(\displaystyle{ a+b+\sqrt{a^2+b^2}=20}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b}\) – przyprostokątne, a chcemy zmaksymalizować \(\displaystyle{ \frac{1}{2}ab}\). Zauważmy, że:
\(\displaystyle{ a+b\ge 2\sqrt{ab}\\a^2+b^2\ge 2ab\\ a+b+\sqrt{a^2+b^2}\ge (2+\sqrt{2})\sqrt{ab}\\\frac{1}{2}\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2} \right)^2\ge \frac 12 ab}\)
z równością dla \(\displaystyle{ a=b}\).
Dalej mamy równanie \(\displaystyle{ 20=(2+\sqrt{2})a}\) jak opisałeś.

florek177, nie ma potrzeby usuwania nierówności z mianownika, tak się kiedyś robiło dla łatwiejszego przybliżenia, kiedy nie mieliśmy jeszcze tak mocnych komputerów, wynik \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}}}\) nie jest w niczym mniej elegancki niż \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\).

[Argun]

Dzięki

[bosa_Nike]

To ja Was pogodzę: https://www.matematyka.pl/187504.htm#p692438

EDIT: Ach, teraz dopiero zauważyłam rozbieżność tematu wątku z treścią zadania. Nieważne.

[Premislav]

Ale w nazwie wątku stoi jak wół trójkąt prostokątny.-- 5 lut 2018, o 15:56 --Sam na początku napisałem rozwiązanie z Herona i nierówności między średnimi, z równością dla trójkąta równobocznego, ale potem spojrzałem na nazwę wątku.