Równanie Bessela

[bieszczyk2]

Witam,

mam problem ze znalezieniem rozwiązania szczególnego równania różniczkowego:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}y(x) }{ \partial x^{2}} + \frac{1}{x} * \frac{ \partial y(x)}{ \partial x}
- 4 * y(x) = 4 * x}\)

[Premislav]

Nie pamiętam, czy tak to się robiło, ale ja bym przewidział rozwiązanie w postaci szeregu potęgowego.
Niech \(\displaystyle{ y_{sz}(x)= \sum_{n=0}^{+\infty}a_n \ x^n}\).
Po podstawieniu tego do równania i zróżniczkowaniu wyraz po wyrazie mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n x^{n-2}+\frac 1 x \sum_{n=1}^{+\infty}na_n x^{n-1}-4 \sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n=4x\\ \sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n x^{n-1}+ \sum_{n=1}^{+\infty}na_n x^{n-1}-4 \sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^{n+1}=4x^2\\\sum_{n=1}^{+\infty}n(n+1)a_{n+1} x^{n}+ \sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)a_{n+1}x^{n}-4 \sum_{n=1}^{+\infty}a_{n-1} x^{n}=4x^2}\)
Stąd po przyrównaniu współczynników przy odpowiednich potęgach mamy
\(\displaystyle{ a_1=0}\), a dalej
\(\displaystyle{ (n+1)^2a_{n+1}=4a_{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ n>2}\) itd. No nie chce mi się rozpisywać tego porównania współczynników (przy \(\displaystyle{ x^2}\) ma być \(\displaystyle{ 4}\), a poza tym zera).
To się powinno dać rozwiązać.