Diagonalizacja - dowód.

[Mathix]

Cześć,

muszę udowodnić, że jeżeli operator \(\displaystyle{ u}\) na n-wymiarowej przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) n różnych wartości własnych to operator \(\displaystyle{ v}\) taki, że \(\displaystyle{ u \circ v=v \circ u}\) jest diagonalizowalny.

Zacinam się w pewnym momencie i nie wiem jak pójść dalej. Robię tak:
Wiem, że \(\displaystyle{ u}\) jest diagonalizowalny oraz zachodzi taka zależność:
\(\displaystyle{ M_{u \circ v}=M_uM_v}\)
Z warunku w zadaniu mam:
\(\displaystyle{ M_uM_v=M_vM_u}\)
Zatem którąkolwiek ze stron mogę zastąpić macierzą \(\displaystyle{ I_d}\). Czyli mam:
\(\displaystyle{ M_v=M_u^{-1}}\)
Z racji, że \(\displaystyle{ M_u}\) jest diagonalizowalna to mam: \(\displaystyle{ M_u=A\cdot D\cdot A^{-1}}\)
Wykonując podstawowe operacje dochodzę do:
\(\displaystyle{ M_v=AD^{-1}A^{-1}}\)
\(\displaystyle{ D^{-1}}\) będzie dalej macierzą diagonalą, ale będzie miała inne wartości na przekątnych niż wartości własne odpowiadające wektorom własnych z macierzy \(\displaystyle{ A}\). Na diagonali \(\displaystyle{ D^{-1}}\) będą wartości odwrotne do wartości własnych macierzy na diagonali \(\displaystyle{ D}\). I tutaj się stopuję i nie wiem jak to dalej ruszyć.

[leg14]

Zatem którąkolwiek ze stron mogę zastąpić macierzą I_d

A dlaczego?

I tutaj się stopuję i nie wiem jak to dalej ruszyć.

To sprawdź jeszcze raz definicję diagonizowalności, bo to byłby koniec zadanie ,gdyby nie to, że popełniłeś błąd (patrz wyżej).

[Mathix]

Okey, wydawało mi się, że jak zachodzi \(\displaystyle{ AB=BA}\) to \(\displaystyle{ A=B^{-1}}\)
Natomiast pomijając ten krok to mogę zapisać tak:
\(\displaystyle{ M_v=M_u^{-1}\cdot M_v\cdot M_u}\)
Tylko, że wtedy mam \(\displaystyle{ M_v}\) zależne od \(\displaystyle{ M_v}\).-- 5 lut 2018, o 11:50 --Ktoś ma jakiś pomysł?

Jeszcze będąc przy temacie diagonalizacji i wartości własnych to mam jedno pytanie. Jeżeli macierz ma jednokrotną wartość własną to zawsze w takim przypadku ma tylko jeden liniowo niezależny wektor własny czy może mieć więcej? Jakby np. równanie charakterystyczne jakiejś macierzy \(\displaystyle{ 4\times 4}\) wyglądało tak: \(\displaystyle{ (\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda^2+1)=0}\)
To wtedy dla wartości własnych \(\displaystyle{ \lambda=1 \vee \lambda=-1}\) mogą istnieć po dwa liniowo niezależne wektory własne, tak że będzie ona diagonalizowalna?

[leg14]

Masz \(\displaystyle{ AB =BA}\)i \(\displaystyle{ A}\) ma n różnych wartości własnych. Niech \(\displaystyle{ x}\) taki, że \(\displaystyle{ Ax = \lambda x}\).
Wówczas \(\displaystyle{ ABx = BAx = \lambda Bx}\).
Zatem \(\displaystyle{ Bx}\) jest wektorem własnym macierzy \(\displaystyle{ A}\) z wartością własną \(\displaystyle{ \lambda}\). Z założenia przestrzenie własne macierzy \(\displaystyle{ A}\) są jednowymiarowe, więc \(\displaystyle{ Bx \in lin(x)}\), więc \(\displaystyle{ Bx = t x}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t \in \RR}\)