Jak rozwiązać poniższe równanie z warunkiem początkowym?
\(\displaystyle{ u u_{x} + y u_{y} = x}\)
\(\displaystyle{ u\left( 0 ,\ y)}\)
Istnieje ogólny algorytm rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych?
Równanie różniczkowe cząstkowe
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Równanie różniczkowe cząstkowe
\(\displaystyle{ u u_{x} + y u_{y} = x\\}\)
Zapisujesz układ równań
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}x }{u}= \frac{ \mbox{d}y}{y}=\frac{ \mbox{d}u}{x }\\
\frac{ \mbox{d}x }{u}=\frac{ \mbox{d}u}{x }\\
2x \mbox{d}x =2u \mbox{d}x \\
x^2-u^2=C_{1}\\
x^2-C_{1}=u^2\\
\frac{ \mbox{d}x }{u}=\frac{ \mbox{d}y}{y}\\
\frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{x^2-C_{1}}}=\frac{ \mbox{d}y}{y}\\}\)
Aby obliczyć tę całkę stosujesz podstawienie Eulera (to pierwsze)
\(\displaystyle{ \ln{\left| x+ \sqrt{x^2-C_{1}} \right| }=ln{\left| y\right| }+C_{2}\\
x+ \sqrt{x^2-C_{1}}=C_{2}y\\
x+u=C_{2}y\\
\frac{x+u}{y}=C_{2}\\}\)
\(\displaystyle{ \varphi_{1}\left( x,y,u\right)=x^2-u^2\\
\varphi_{2}\left( x,y,u\right)=\frac{x+u}{y}\\
F\left(x^2-u^2,\frac{x+u}{y} \right)=0}\)
Skrypty podają że aby dokończyć swoje zadanie musisz rozwiązać kolejny układ równań
Zapisujesz układ równań
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}x }{u}= \frac{ \mbox{d}y}{y}=\frac{ \mbox{d}u}{x }\\
\frac{ \mbox{d}x }{u}=\frac{ \mbox{d}u}{x }\\
2x \mbox{d}x =2u \mbox{d}x \\
x^2-u^2=C_{1}\\
x^2-C_{1}=u^2\\
\frac{ \mbox{d}x }{u}=\frac{ \mbox{d}y}{y}\\
\frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{x^2-C_{1}}}=\frac{ \mbox{d}y}{y}\\}\)
Aby obliczyć tę całkę stosujesz podstawienie Eulera (to pierwsze)
\(\displaystyle{ \ln{\left| x+ \sqrt{x^2-C_{1}} \right| }=ln{\left| y\right| }+C_{2}\\
x+ \sqrt{x^2-C_{1}}=C_{2}y\\
x+u=C_{2}y\\
\frac{x+u}{y}=C_{2}\\}\)
\(\displaystyle{ \varphi_{1}\left( x,y,u\right)=x^2-u^2\\
\varphi_{2}\left( x,y,u\right)=\frac{x+u}{y}\\
F\left(x^2-u^2,\frac{x+u}{y} \right)=0}\)
Skrypty podają że aby dokończyć swoje zadanie musisz rozwiązać kolejny układ równań